Для решения задачи о движении тела с заданной скоростью v(t) = 2t² + t, нам нужно найти, какой путь тело пройдет за 3 секунды.
Шаг 1: Понимание скорости и пути
Скорость – это производная пути. Таким образом, для того чтобы найти путь, нужно проинтегрировать функцию скорости. Путь можно обозначить как S(t), тогда мы имеем:
[ S(t) = \int v(t) , dt ]
Шаг 2: Интегрирование скорости
Подставим функцию скорости v(t) = 2t² + t в интеграл:
[ S(t) = \int (2t^2 + t) , dt ]
Теперь найдем интеграл каждого члена по отдельности:
Интеграл от 2t²:
[
\int 2t^2 , dt = \frac{2}{3}t^3
]
Интеграл от t:
[
\int t , dt = \frac{t^2}{2}
]
Теперь можем объединить результаты интегрирования:
[ S(t) = \frac{2}{3}t^3 + \frac{t^2}{2} + C ]
где C – константа интегрирования. Для нашей задачи, поскольку мы начинаем измерение пути с 0, можем считать C = 0. Таким образом:
[ S(t) = \frac{2}{3}t^3 + \frac{t^2}{2} ]
Шаг 3: Подстановка времени
Теперь, чтобы найти путь, пройденный телом за 3 секунды, подставим t = 3:
[ S(3) = \frac{2}{3}(3)^3 + \frac{(3)^2}{2} ]
Посчитаем каждую часть:
- ( (3)^3 = 27 )
Следовательно:
[ \frac{2}{3} \cdot 27 = 18 ]
- ( (3)^2 = 9 )
Следовательно:
[ \frac{9}{2} = 4.5 ]
Шаг 4: Сложение результатов
Теперь сложим результаты:
[ S(3) = 18 + 4.5 = 22.5 ]
Таким образом, путь, пройденный телом за 3 секунды, составляет 22.5 метра.
Ответ
Путь, пройденный телом за 3 секунды, равен 22.5 метра.
