На доске написаны числа 1, 2^2, 3^2,… 101^2. Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не останется единственное число. Определи наименьшее значение, которое Аня сможет получить.

Решим задачу поэтапно. 1. **Понимание задачи:** У нас есть набор чисел: \(1, 2^2, 3^2, \ldots, 101^2\), то есть: \[ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, 2601, 2704, 2809, 2916, 3025, 3136, 3249, 3364, 3481, 3600, 3721, 3844, 3969, 4096, 4225, 4356, 4489, 4624, 4761, 4900, 5041, 5184, 5329, 5476, 5625, 5776, 5929, 6084, 6241, 6400, 6561, 6724, 6889, 7056, 7225, 7396, 7569, 7744, 7921, 8100, 8281, 8464, 8649, 8836, 9025, 9216, 9409, 9604, 9801, 10000 \] Всего 101 число. 2. **Процесс удаления чисел:** Аня стирает любые два числа и записывает их положительную разность. При каждом шаге количество чисел на доске уменьшается на 1. Итак, после того как останется только одно число, ее последняя операция станет определять наименьшее из возможных результатов. 3. **Почему важно оставлять четность:** Обратите внимание на то, что при каждой операции (взятие абсолютного значения разности) важно следить за четностью суммы оставшихся чисел. Поскольку разность двух квадратов имеет определенное свойство: - Если оба квадрата четные, разность четная. - Если оба квадрата нечетные, разность четная. - Если один квадрат четный, а другой нечетный, разность нечетная. 4. **Счет четных и нечетных чисел:** В нашем наборе чисел: - Квадраты четных чисел: \(2^2, 4^2, \ldots, 100^2\) (то есть 50 чисел) - Квадраты нечетных чисел: \(1^2, 3^2, \ldots, 101^2\) (то есть 51 число) Так, у нас 50 четных и 51 нечетное число. 5. **Определение конечного результата:** Поскольку нечетные числа превышают четные на единицу, в итоге, в процессе операций будет оставаться одно нечетное число. Таким образом, конечным числом на доске будет нечетное число. 6. **Наименьшее нечетное число:** Наименьшее нечетное число из первоначального набора — это \(1^2 = 1\). Поскольку в процессе Аня всегда может обеспечить, что финальная разность не превысит ни одно из нечетных чисел на доске, то всегда есть возможность получить 1. Итак, **наименьшее значение, которое Аня сможет получить, составит 1.**