Прямоугольник, у которого одна сторона больше другой в два раза, разбит на два прямоугольника поменьше (см. рисунок). Периметры этих прямоугольников равны соответственно 80 и 112 Найдите меньшую сторону самого большого прямоугольника.

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с того, что обозначим стороны большого прямоугольника. Пусть одна сторона равна \(x\), тогда другая сторона будет равна \(2x\), так как одна сторона в два раза больше другой. Теперь найдем, как выражаются периметры двух меньших прямоугольников. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. 1. **Первый меньший прямоугольник:** Пусть его стороны равны \(a\) и \(b_1\). Тогда периметр этого прямоугольника равен: \[ P_1 = 2(a + b_1) = 80 \] Отсюда: \[ a + b_1 = 40 \] (разделив обе стороны на 2) 2. **Второй меньший прямоугольник:** Пусть его стороны равны \(a\) и \(b_2\). Тогда периметр этого прямоугольника равен: \[ P_2 = 2(a + b_2) = 112 \] Отсюда: \[ a + b_2 = 56 \] (разделив обе стороны на 2) 3. Теперь мы имеем систему уравнений: \[ a + b_1 = 40 \quad (1) \] \[ a + b_2 = 56 \quad (2) \] 4. Из уравнения (1) выразим \(b_1\): \[ b_1 = 40 - a \] 5. Из уравнения (2) выразим \(b_2\): \[ b_2 = 56 - a \] 6. Поскольку меньший прямоугольник был образован из более крупного, и, предположительно, стороны меньших прямоугольников соприкасаются с одной из сторон большего прямоугольника, то сумма их длин (или одна из длин) должна равняться длине стороны большего прямоугольника \(2x\). Мы можем выразить это как: \[ b_1 + b_2 = 2x \] Подставим \(b_1\) и \(b_2\): \[ (40 - a) + (56 - a) = 2x \] \[ 96 - 2a = 2x \] Разделим обе стороны на 2: \[ 48 - a = x \] 7. Теперь у нас есть выражение для \(x\), и мы знаем, что \(b_1\) и \(b_2\) зависят от \(a\): \[ b_1 = 40 - a \] \[ b_2 = 56 - a \] 8. Мы знаем, что одна из сторон малых прямоугольников должна быть равна меньше или равна \(x\). Но нам нужно найти \(a\) для вычисления сторон \(b_1\) и \(b_2\) и, следовательно, \(x\). 9. Для поиска \(a\) мы можем воспользоваться тем, что \(x = 48 - a\) и \(b_1 + b_2 = 2x\). Подставив \(x\) обратно, у нас есть: \[ b_1 + b_2 = 48 \] 10. Мы можем теперь подставить \(b_1\) и \(b_2\): \[ (40 - a) + (56 - a) = 48 \] 11. Упростим: \[ 96 - 2a = 48 \] \[ 2a = 48 \] \[ a = 24 \] 12. Подставляем \(a\) обратно для нахождения \(b_1\) и \(b_2\): \[ b_1 = 40 - 24 = 16 \] \[ b_2 = 56 - 24 = 32 \] 13. Теперь можем найти стороны большого прямоугольника: \[ x = 48 - 24 = 24 \] \[ 2x = 2 \times 24 = 48 \] Таким образом, меньшая сторона самого большого прямоугольника равна \(24\).