17) Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, запи-санное теми же цифрами в обратном…

Для решения данной задачи, давайте поэтапно рассмотрим условия и найдем нужное число.

1. Определим структуру трехзначного числа. Пусть трехзначное число обозначим как \( abc \), где:

   • \( a \) — первая цифра (десятки),
   • \( b \) — вторая цифра (сотни),
   • \( c \) — третья цифра (единицы).

   Записываем его как \( 100a + 10b + c \).

2. Условия задачи:

   • Число делится на 13.
   • Последняя цифра \( c \) в 4 раза меньше первой цифры \( a \): \( c = \frac{a}{4} \).

   Поскольку \( c \) — это цифра (от 0 до 9), а \( a \) также должна быть цифрой и больше 0 (поскольку число трехзначное), возможные значения для \( a \) могут быть: 4 и 8. Значения \( c \) тогда будут соответственно 1 и 2.

3. Проверим каждое возможное число:

   • Сначала \( a = 4 \), следовательно \( c = 1 \):

     Число можно записать как: \( 4b1 \).

     В числовом виде это будет: \[ 100 \cdot 4 + 10b + 1 = 401 + 10b. \]

   • Теперь \( a = 8 \), следовательно \( c = 2 \):

     Число можно записать как: \( 8b2 \).

     В числовом виде это будет: \[ 100 \cdot 8 + 10b + 2 = 802 + 10b. \]

4. Определим все возможные значения для \( b \):

   • Для \( a = 4 \), \( c = 1 \): \( 401 + 10b \) и проверим, при каких \( b \) это число делится на 13.

     \( b \) может принимать значения от 0 до 9. Проверим числа:

     • \( 401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471, 481, 491 \).

     Диапазон вычислений деления на 13:

     • \( 401 \div 13 \approx 30.846 \) (не делится)
     • \( 411 \div 13 \approx 31.615 \) (не делится)
     • \( 421 \div 13 \approx 32.384615 \) (не делится)
     • \( 431 \div 13 \approx 33.153846 \) (не делится)
     • \( 441 \div 13 = 34 \) (делится!)
     • \( 451, 461, 471, 481, 491 \div 13 \) (не делятся).

     Так что \( 441 \) — наш кандидат.

   • Для \( a = 8 \), \( c = 2 \): Проверим числа: \( 802 + 10b \) и делим на 13 для \( b = 0 \) до \( 9 \).

     • \( 802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892 \).

     Проверяем на делимость на 13 (вычислений будет тоже много).

5. Проверяем на условие разности: Нам нужно, чтобы разность \((abc - cba)\) была меньше 400.

   • Для \( 441 \):

     • Перевернем: \( 144 \).
     • Разность: \( 441 - 144 = 297 \). (все условия выполнены)

   • Для чисел от \( 8b2 \), проверив, все они оказываются больше 400 в разности.

6. Вывод: Исходя из всех вышеперечисленных вычислений, число, которое удовлетворяет всем условиям задачи — это \( 441 \).