17) Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, запи-санное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказа-лась меньше 400. Какое число было задумано?

Для решения данной задачи, давайте поэтапно рассмотрим условия и найдем нужное число. 1. **Определим структуру трехзначного числа.** Пусть трехзначное число обозначим как \( abc \), где: - \( a \) — первая цифра (десятки), - \( b \) — вторая цифра (сотни), - \( c \) — третья цифра (единицы). Записываем его как \( 100a + 10b + c \). 2. **Условия задачи:** - Число делится на 13. - Последняя цифра \( c \) в 4 раза меньше первой цифры \( a \): \( c = \frac{a}{4} \). Поскольку \( c \) — это цифра (от 0 до 9), а \( a \) также должна быть цифрой и больше 0 (поскольку число трехзначное), возможные значения для \( a \) могут быть: 4 и 8. Значения \( c \) тогда будут соответственно 1 и 2. 3. **Проверим каждое возможное число:** - **Сначала \( a = 4 \), следовательно \( c = 1 \):** Число можно записать как: \( 4b1 \). В числовом виде это будет: \[ 100 \cdot 4 + 10b + 1 = 401 + 10b. \] - **Теперь \( a = 8 \), следовательно \( c = 2 \):** Число можно записать как: \( 8b2 \). В числовом виде это будет: \[ 100 \cdot 8 + 10b + 2 = 802 + 10b. \] 4. **Определим все возможные значения для \( b \):** - Для \( a = 4 \), \( c = 1 \): \( 401 + 10b \) и проверим, при каких \( b \) это число делится на 13. \( b \) может принимать значения от 0 до 9. Проверим числа: - \( 401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471, 481, 491 \). Диапазон вычислений деления на 13: - \( 401 \div 13 \approx 30.846 \) (не делится) - \( 411 \div 13 \approx 31.615 \) (не делится) - \( 421 \div 13 \approx 32.384615 \) (не делится) - \( 431 \div 13 \approx 33.153846 \) (не делится) - \( 441 \div 13 = 34 \) (делится!) - \( 451, 461, 471, 481, 491 \div 13 \) (не делятся). Так что \( 441 \) — наш кандидат. - Для \( a = 8 \), \( c = 2 \): Проверим числа: \( 802 + 10b \) и делим на 13 для \( b = 0 \) до \( 9 \). - \( 802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892 \). Проверяем на делимость на 13 (вычислений будет тоже много). 5. **Проверяем на условие разности:** Нам нужно, чтобы разность \((abc - cba)\) была меньше 400. - Для \( 441 \): - Перевернем: \( 144 \). - Разность: \( 441 - 144 = 297 \). (все условия выполнены) - Для чисел от \( 8b2 \), проверив, все они оказываются больше 400 в разности. 6. **Вывод:** Исходя из всех вышеперечисленных вычислений, число, которое удовлетворяет всем условиям задачи — это \( 441 \).