Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, запи-санное теми же цифрами в обратном…

Давайте поэтапно разберемся с задачей.

Шаг 1: Определение трёхзначного числа

Пусть трёхзначное число обозначается как \( ABC \), где \( A \), \( B \) и \( C \) — это его цифры. Так как это трёхзначное число:

• \( A \) может принимать значения от 1 до 9 (первой цифрой не может быть 0).
• \( B \) и \( C \) могут принимать значения от 0 до 9.

Из условия задачи известно:

1. Число делится на 13.
2. Последняя цифра \( C \) в 4 раза меньше первой цифры \( A \) (т.е. \( C = \frac{A}{4} \)). Это значит, что \( A \) должно быть кратно 4.

Поскольку \( C \) должна быть целым числом, \( A \) может принимать значения 4 или 8 (поскольку только они кратны 4 и находятся в пределах от 1 до 9).

Если \( A = 4 \):

Тогда \( C = \frac{4}{4} = 1 \), и число выглядит как \( 4B1 \).

Если \( A = 8 \):

Тогда \( C = \frac{8}{4} = 2 \), и число выглядит как \( 8B2 \).

Шаг 2: Проверка делимости на 13

Теперь найдём \( B \) так, чтобы \( 4B1 \) и \( 8B2 \) делились на 13.

Для числа \( 4B1 \):

Это число можно представить как \( 401 + 10B \). Теперь проверим каждое значение \( B \):

• \( B = 0 \): \( 401 \div 13 = 30.923 \) (не делится)
• \( B = 1 \): \( 411 \div 13 = 31.615 \) (не делится)
• \( B = 2 \): \( 421 \div 13 = 32.384 \) (не делится)
• \( B = 3 \): \( 431 \div 13 = 33.153 \) (не делится)
• \( B = 4 \): \( 441 \div 13 = 34.077 \) (не делится)
• \( B = 5 \): \( 451 \div 13 = 34.615 \) (не делится)
• \( B = 6 \): \( 461 \div 13 = 35.384 \) (не делится)
• \( B = 7 \): \( 471 \div 13 = 36.230 \) (не делится)
• \( B = 8 \): \( 481 \div 13 = 37.077 \) (делится)
• \( B = 9 \): \( 491 \div 13 = 37.923 \) (не делится)

Итак, число \( 481 \) делится на 13.

Для числа \( 8B2 \):

Это число можно представить как \( 802 + 10B \). Проверим каждое значение \( B \):

• \( B = 0 \): \( 802 \div 13 = 61.692 \) (не делится)
• \( B = 1 \): \( 812 \div 13 = 62.461 \) (не делится)
• \( B = 2 \): \( 822 \div 13 = 63.230 \) (не делится)
• \( B = 3 \): \( 832 \div 13 = 64.000 \) (делится)
• \( B = 4 \): \( 842 \div 13 = 64.769 \) (не делится)
• \( B = 5 \): \( 852 \div 13 = 65.538 \) (не делится)
• \( B = 6 \): \( 862 \div 13 = 66.308 \) (не делится)
• \( B = 7 \): \( 872 \div 13 = 67.077 \) (не делится)
• \( B = 8 \): \( 882 \div 13 = 67.846 \) (не делится)
• \( B = 9 \): \( 892 \div 13 = 68.615 \) (не делится)

Итак, число \( 832 \) делится на 13.

Шаг 3: Находим обратное число и разность

Теперь у нас есть два числа: \( 481 \) и \( 832 \).

1. Для \( 481 \):

   • Обратное число: \( 184 \)
   • Разность: \( 481 - 184 = 297 \) (меньше 400)

2. Для \( 832 \):

   • Обратное число: \( 238 \)
   • Разность: \( 832 - 238 = 594 \) (больше 400)

Заключение

Единственное подходящее трёхзначное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, это 481.