Представьте, что вы бросаете идеальный шестигранный игральный кубик (на гранях цифры от 1 до 6). Каково математическое ожидание числа, которое выпаде?

Чтобы понять, как рассчитывать математическое ожидание для броска шестигранного игрального кубика, давайте разберёмся по шагам.

Шаг 1: Определение вероятностей

У идеального шестигранного игрального кубика есть 6 граней с числами от 1 до 6. Когда вы бросаете кубик, каждая грань имеет равную вероятность выпасть. Это значит, что вероятность выпадения каждого из чисел составляет:

\[ P(X = i) = \frac{1}{6} \]

где \( i \) — это число на грани (то есть 1, 2, 3, 4, 5 или 6).

Шаг 2: Определение значений

Теперь запишем возможные значения, которые могут выпасть при броске кубика:

• \( X = 1 \)
• \( X = 2 \)
• \( X = 3 \)
• \( X = 4 \)
• \( X = 5 \)
• \( X = 6 \)

Шаг 3: Расчёт математического ожидания

Математическое ожидание (или среднее значение) рассчитывается по формуле:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) \]

где:

• \( x_i \) — это значение, которое может выпасть (в нашем случае 1, 2, 3, 4, 5, 6),
• \( P(X = x_i) \) — это вероятность, с которой это значение выпадает.

Подставим значения в формулу:

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \]

Шаг 4: Вычисления

Теперь посчитаем:

\[ E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \]

Сначала найдём сумму чисел от 1 до 6:

\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[ E(X) = \frac{1}{6} \cdot 21 = \frac{21}{6} = 3.5 \]

Ответ

Таким образом, математическое ожидание числа, которое выпадет при броске идеального шестигранного игрального кубика, равно 3.5.

Это значит, что в долгосрочной перспективе, если вы будете бросать кубик много раз, среднее значение получаемых результатов будет стремиться к 3.5.