основание пирамиды прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и острым углом 60° найдите площадь боковой поверхности пирамиды если ее высота равна 10 см

Для решения задачи начнём с нахождения необходимых параметров пирамиды и ее боковой поверхности, пошагово разбирая каждый этап.

Шаг 1: Определение стороны основания

У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и острым углом 60°. Для нахождения катетов (сторон основания) воспользуемся тригонометрическими функциями.

Для прямоугольного треугольника:

• \(a = c \cdot \cos(\alpha)\) — один из катетов (прилежащий катет),
• \(b = c \cdot \sin(\alpha)\) — другой катет (противолежащий катет), где \(c\) — гипотенуза, \(\alpha\) — острый угол.

Подставляем значения:

• \(c = 12\) см,
• \(\alpha = 60^\circ\).

Находим катеты:

1. Прилежащий катет: \[ a = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]

2. Противолежащий катет: \[ b = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 2: Найдем площадь основания

С учетом того, что основание — прямоугольный треугольник, площадь \(S_{основание}\) можно вычислить по формуле: \[ S_{основание} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] Подставляя найденные значения: \[ S_{основание} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Определение боковой поверхности пирамиды

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольных боковых граней. Высота каждой из боковых граней — это перпендикуляр, проведённый от вершины пирамиды до основания.

Высота боковых граней

Даны:

• Высота пирамиды \(h = 10\) см.

Для каждой боковой грани мы можем использовать:

• Площадь треугольника: \[ S_{боковая грань} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

Каждая боковая грань основана на одной из сторон основания:

1. Боковая грань на стороне \(a = 6\) см: \[ S_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30 \text{ см}^2 \]

2. Боковая грань на стороне \(b = 6\sqrt{3}\) см: \[ S_{2} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 10 = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

3. Боковая грань на гипотенузе \(c = 12\) см: \[ S_{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Суммируем площади боковых граней

Теперь складываем площади всех боковых граней: \[ S_{боковая поверхность} = S_{1} + S_{2} + S_{3} \] \[ S_{боковая поверхность} = 30 + 30\sqrt{3} + 60 \] \[ S_{боковая поверхность} = 90 + 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ:

Площадь боковой поверхности пирамиды составляет \(90 + 30\sqrt{3} \text{ см}^2\).