Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км…

Давайте решим задачу, шаг за шагом.

1. Давайте обозначим скорости бегунов:

   • Пусть скорость первого бегуна равна \( v_1 \) км/ч.
   • Тогда скорость второго бегуна, поскольку она на 11 км/ч больше, будет равна \( v_2 = v_1 + 11 \) км/ч.

2. Из условий задачи знаем:

   • Первому бегуну оставалось 4 км до окончания первого круга через 1 час после старта.
   • Второй бегун пробежал первый круг на 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) раньше.

3. Определим время, за которое каждый бегун пробежал круг:

   • Первый бегун пробежал 1 час минус то время, которое он тратил на оставшиеся 4 км.
   • Время, затраченное первым бегуном на пробежку 6 км (полный круг, так как 4 км по кругу осталось) составляет: \[ t_1 = \frac{6}{v_1} \]
   • Второй бегун пробежал круг за: \[ t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{6}{v_2} \]

4. Из условия задачи нам известно, что второй бегун пробежал круг на 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) раньше, чем первый. Тогда мы можем записать следующее уравнение: \[ t_1 = t_2 + \frac{1}{3} \] Подставляем значения: \[ \frac{6}{v_1} = \frac{6}{v_2} + \frac{1}{3} \]

5. Теперь подставим выражение для скорости второго бегуна: \[ \frac{6}{v_1} = \frac{6}{v_1 + 11} + \frac{1}{3} \]

6. Умножим все уравнение на \(3v_1(v_1 + 11)\) для устранения знаменателей: \[ 18(v_1 + 11) = 18v_1 + v_1(v_1 + 11) \]

7. Распишем уравнение: \[ 18v_1 + 198 = 18v_1 + v_1^2 + 11v_1 \] Убираем одинаковые элементы: \[ 198 = v_1^2 + 11v_1 \]

8. Перепишем уравнение: \[ v_1^2 + 11v_1 - 198 = 0 \]

9. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-198) = 121 + 792 = 913 \]

10. Находим корни квадратного уравнения: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{913}}{2} \]

11. Вычисляем квадратный корень и подставляем: \[ \sqrt{913} \approx 30.2 \] \[ v_1 \approx \frac{-11 + 30.2}{2} \quad \text{(только положительный корень)} \] \[ v_1 \approx \frac{19.2}{2} \approx 9.6 \text{ км/ч} \]

12. Теперь находим скорость второго бегуна: \[ v_2 = v_1 + 11 \approx 9.6 + 11 = 20.6 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорость первого бегуна составляет приблизительно 9.6 км/ч, а скорость второго — 20.6 км/ч.