13. Высота изображённого на рисунке конуса равна 24 , а объём — 800π . Чему равна образующая этого конуса?
Чтобы найти образующую конуса, нам нужно использовать формулы для объема конуса и его геометрические свойства.
Объем конуса рассчитывается по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где \(V\) — объем конуса, \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота.
Дано:
- Высота \(h = 24\)
- Объем \(V = 800\pi\)
Подставим значения в формулу объема:
\[ 800\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 24 \]
Теперь можем упростить уравнение. Сначала разделим обе стороны на \(\pi\):
\[ 800 = \frac{1}{3} r^2 \cdot 24 \]
- Умножим обе стороны на 3:
\[ 2400 = r^2 \cdot 24 \]
- Теперь разделим обе стороны на 24:
\[ r^2 = \frac{2400}{24} \]
\[ r^2 = 100 \]
- Вычислим радиус \(r\):
\[ r = \sqrt{100} = 10 \]
Теперь мы знаем, что радиус основания конуса равен \(10\).
- Найдём образующую \(l\) конуса.
Образующая конуса, высота конуса и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. Образующая является гипотенузой этого треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора:
\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]
- Подставим известные значения:
\[ l = \sqrt{24^2 + 10^2} \]
\[ l = \sqrt{576 + 100} \]
\[ l = \sqrt{676} \]
\[ l = 26 \]
Таким образом, образующая конуса равна \(26\).
