Вычислите сумму первых двадцати членов арифмитической прогрессии: 31; 22; 13, ...
Чтобы найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, начнем с определения общего члена прогрессии и необходимых параметров.
Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия (АП) определяется первым членом (a₁) и разностью (d).
- Первый член (a₁): 31
- Второй член (a₂): 22
- Третий член (a₃): 13
Найдем разность (d):
Разность (d) между соседними членами можно вычислить как: \[ d = a_2 - a_1 = 22 - 31 = -9 \] или \[ d = a_3 - a_2 = 13 - 22 = -9 \]
Следовательно, разность (d) равна -9.
Шаг 2: Определим формулу для n-го члена
Формула n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \] где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член,
- \( d \) — разность,
- \( n \) — номер члена.
Подставим наши параметры: \[ a_n = 31 + (n - 1)(-9) \] \[ a_n = 31 - 9(n - 1) \] \[ a_n = 31 - 9n + 9 \] \[ a_n = 40 - 9n \]
Шаг 3: Найдем сумму первых n членов
Сумма первых n членов (S_n) арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]
Для 20 членов (n = 20):
Найдем 20-й член (a₍₂₀₎): \[ a_{20} = 40 - 9 \times 20 \] \[ a_{20} = 40 - 180 = -140 \]
Теперь подставим значения в формулу суммы: \[ S_{20} = \frac{20}{2} (a_1 + a_{20}) \] \[ S_{20} = 10 (31 + (-140)) \] \[ S_{20} = 10 (31 - 140) \] \[ S_{20} = 10 \times (-109) \] \[ S_{20} = -1090 \]
Ответ
Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии равна -1090.
