Чтобы решить задачу о том, сколько способов можно составить расписание уроков, выбирая 5 различных предметов из 14, нам нужно использовать закон комбинаторики.
Шаг 1: Выбор предметов
Сначала нам нужно выбрать 5 различных предметов из 14. Для этого мы используем сочетания, поскольку порядок не важен. Формула для сочетаний выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее число предметов (в нашем случае 14);
- ( k ) — число выбираемых предметов (в нашем случае 5);
- ( ! ) — факториал.
Подставляем значения:
[
C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5! \cdot 9!}
]
Теперь, чтобы упростить расчеты, распишем факториалы:
[
C(14, 5) = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{240240}{120} = 2002
]
Шаг 2: Распределение уроков по времени
Теперь, когда мы выбрали 5 предметов, нам нужно распределить их по 5 урокам. Так как порядок уроков важен, для этого используем перестановки. Число перестановок 5 элементов равно ( 5! ):
[
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
]
Шаг 3: Итоговое количество возможных расписаний
Теперь мы перемножаем число способов выбрать предметы на количество способов их расставить:
[
\text{Общее количество} = C(14, 5) \cdot 5! = 2002 \cdot 120 = 240240
]
Ответ
Таким образом, количество способов составить расписание уроков на один день так, чтобы 5 уроков были различными, составляет 240240.
Верный вариант ответа
B: 240240
