2х-3/х+5=4х-9/3х-1
Для решения уравнения \( \frac{2x-3}{x+5} = \frac{4x-9}{3x-1} \), начнем с того, что произведем перекрестное умножение, чтобы избавиться от дробей. Это позволит нам упростить уравнение.
Шаг 1: Перекрестное умножение
Мы перемножим крест-накрест:
\[ (2x - 3)(3x - 1) = (4x - 9)(x + 5) \]
Шаг 2: Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки с обеих сторон:
Слева:
\[ (2x - 3)(3x - 1) = 2x \cdot 3x - 2x \cdot 1 - 3 \cdot 3x + 3 \cdot 1 = 6x^2 - 2x - 9x + 3 = 6x^2 - 11x + 3 \]
Справа:
\[ (4x - 9)(x + 5) = 4x \cdot x + 4x \cdot 5 - 9 \cdot x - 9 \cdot 5 = 4x^2 + 20x - 9x - 45 = 4x^2 + 11x - 45 \]
Шаг 3: Запишем равенство
Теперь у нас есть:
\[ 6x^2 - 11x + 3 = 4x^2 + 11x - 45 \]
Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону
Переносим все на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:
\[ 6x^2 - 11x + 3 - 4x^2 - 11x + 45 = 0 \]
Это упростится до:
\[ (6x^2 - 4x^2) + (-11x - 11x) + (3 + 45) = 0 \]
Итак, получаем:
\[ 2x^2 - 22x + 48 = 0 \]
Шаг 5: Упрощаем уравнение
Чтобы упростить уравнение, можно разделить его на 2:
\[ x^2 - 11x + 24 = 0 \]
Шаг 6: Решаем квадратное уравнение
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]
Шаг 7: Находим корни
Корни находим по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 5}{2} \]
Теперь вычислим два корня:
- \(x_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8\)
- \(x_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 8 \quad \text{и} \quad x_2 = 3 \]
Шаг 8: Проверка корней
Важно проверить, не вызывает ли подстановка корней в исходное уравнение деление на ноль.
Для \(x = 8\):
- \(x+5 = 13\) (не ноль)
- \(3x-1 = 24\) (не ноль)
Для \(x = 3\):
- \(x+5 = 8\) (не ноль)
- \(3x-1 = 8\) (не ноль)
Оба корня допустимы.
Ответ: \(x = 8\) и \(x = 3\).
