2х-3/х+5=4х-9/3х-1

Для решения уравнения \( \frac{2x-3}{x+5} = \frac{4x-9}{3x-1} \), начнем с того, что произведем перекрестное умножение, чтобы избавиться от дробей. Это позволит нам упростить уравнение. Шаг 1: Перекрестное умножение Мы перемножим крест-накрест: \[ (2x - 3)(3x - 1) = (4x - 9)(x + 5) \] Шаг 2: Раскроем скобки Теперь раскроем скобки с обеих сторон: Слева: \[ (2x - 3)(3x - 1) = 2x \cdot 3x - 2x \cdot 1 - 3 \cdot 3x + 3 \cdot 1 = 6x^2 - 2x - 9x + 3 = 6x^2 - 11x + 3 \] Справа: \[ (4x - 9)(x + 5) = 4x \cdot x + 4x \cdot 5 - 9 \cdot x - 9 \cdot 5 = 4x^2 + 20x - 9x - 45 = 4x^2 + 11x - 45 \] Шаг 3: Запишем равенство Теперь у нас есть: \[ 6x^2 - 11x + 3 = 4x^2 + 11x - 45 \] Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону Переносим все на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду: \[ 6x^2 - 11x + 3 - 4x^2 - 11x + 45 = 0 \] Это упростится до: \[ (6x^2 - 4x^2) + (-11x - 11x) + (3 + 45) = 0 \] Итак, получаем: \[ 2x^2 - 22x + 48 = 0 \] Шаг 5: Упрощаем уравнение Чтобы упростить уравнение, можно разделить его на 2: \[ x^2 - 11x + 24 = 0 \] Шаг 6: Решаем квадратное уравнение Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого применим формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \] Шаг 7: Находим корни Корни находим по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 5}{2} \] Теперь вычислим два корня: 1. \(x_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8\) 2. \(x_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\) Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 8 \quad \text{и} \quad x_2 = 3 \] Шаг 8: Проверка корней Важно проверить, не вызывает ли подстановка корней в исходное уравнение деление на ноль. 1. Для \(x = 8\): - \(x+5 = 13\) (не ноль) - \(3x-1 = 24\) (не ноль) 2. Для \(x = 3\): - \(x+5 = 8\) (не ноль) - \(3x-1 = 8\) (не ноль) Оба корня допустимы. **Ответ: \(x = 8\) и \(x = 3\)**.