Для решения задачи начнем с рассмотрения прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 60°. Обозначим:
- ( a ) — длина одного катета (прилежащего к углу 60°),
- ( b ) — длина второго катета (противолежащего углу 60°),
- ( c ) — длина гипотенузы.
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, мы знаем следующее:
- Угол ( A = 60° ), угол ( B = 30° ), угол ( C = 90° ).
- Для прямоугольного треугольника с углом 60° и 30° выполняются следующие соотношения:
- Противолежащий катет к углу 60° (катет ( b )) равен половине гипотенузы ( ( c )), умноженной на ( \sqrt{3} ).
- Прилежащий катет к углу 60° (катет ( a )) равен половине гипотенузы ( ( c )), умноженной на 1.
Шаг 1: Запишем соотношения для катетов и гипотенузы:
[
b = \frac{c\sqrt{3}}{2}
]
[
a = \frac{c}{2}
]
Шаг 2: Из условия задачи известно, что разность гипотенузы и катета меньше ( ( a ) ) равна 4 см:
[
c - a = 4
]
Шаг 3: Подставим ( a ) в уравнение:
[
c - \frac{c}{2} = 4
]
[
\frac{c}{2} = 4
]
[
c = 8 \text{ см}
]
Шаг 4: Теперь найдем длину катета ( a ):
[
a = \frac{c}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}
]
Шаг 5: Найдем длину второго катета ( b ):
[
b = \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}
]
Таким образом, стороны треугольника имеют следующие значения:
- Гипотенуза ( c = 8 ) см,
- Прилежащий катет ( a = 4 ) см,
- Противолежащий катет ( b = 4\sqrt{3} ) см.
В итоге нашли стороны треугольника. Этот треугольник будет соответсвовать условиям задачи.
