Давайте начнем с упрощения выражения ( \cos^2 \alpha + \cot^2 \alpha + \sin^2 \alpha ), а затем подставим значение ( \alpha = \frac{\pi}{6} ).
Сначала используем тригонометрические идентичности:
- ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 )
Теперь найдем ( \cot^2 \alpha ):
- ( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} )
- Из этого следует, что ( \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} ).
Таким образом, выражение можно записать как:
[
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cot^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha
]
Теперь найдем ( \cot^2 \alpha ) как:
[
\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
]
Теперь подставим ( \alpha = \frac{\pi}{6} ):
- ( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} )
- ( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} )
Теперь можем найти ( \cot \frac{\pi}{6} ):
[
\cot \frac{\pi}{6} = \frac{\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}
]
Следовательно,
[
\cot^2 \frac{\pi}{6} = (\sqrt{3})^2 = 3
]
Теперь мы можем подставить это значение обратно в выражение:
[
\cos^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{\pi}{6} + \cot^2 \frac{\pi}{6} = 1 + 3 = 4
]
Таким образом, значение выражения ( \cos^2 \alpha + \cot^2 \alpha + \sin^2 \alpha ) при ( \alpha = \frac{\pi}{6} ) равно 4.
