На координатной плоскости заданы точки: А(1; - 6), В(-2; 4), С(-7; -3) и D(5; -2). Найдите длину вектора 2 • АС + 3 ВD
Чтобы решить задачу, давайте пошагово выясним, что нужно сделать. Нам необходимо найти длину вектора \(2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD}\), где точки имеют координаты:
- \(A(1, -6)\)
- \(B(-2, 4)\)
- \(C(-7, -3)\)
- \(D(5, -2)\)
Шаг 1: Найти векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{BD}\)
Вектор \(\vec{AC}\) можно найти, вычитая координаты точки \(A\) из координат точки \(C\):
\[ \vec{AC} = C - A = (-7 - 1, -3 - (-6)) = (-8, 3) \]
Теперь найдем вектор \(\vec{BD}\):
\[ \vec{BD} = D - B = (5 - (-2), -2 - 4) = (7, -6) \]
Шаг 2: Найти векторы \(2 \cdot \vec{AC}\) и \(3 \cdot \vec{BD}\)
Теперь умножим векторы на указанные коэффициенты.
- Для вектора \(2 \cdot \vec{AC}\):
\[ 2 \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-8, 3) = (-16, 6) \]
- Для вектора \(3 \cdot \vec{BD}\):
\[ 3 \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (7, -6) = (21, -18) \]
Шаг 3: Сложить векторы \(2 \cdot \vec{AC}\) и \(3 \cdot \vec{BD}\)
Теперь сложим оба полученных вектора:
\[ 2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD} = (-16, 6) + (21, -18) = (-16 + 21, 6 - 18) = (5, -12) \]
Шаг 4: Найти длину вектора \((5, -12)\)
Длину вектора \((x, y)\) можно найти по формуле:
\[ \text{длина} = \sqrt{x^2 + y^2} \]
В нашем случае:
\[ \text{длина} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
Ответ
Таким образом, длина вектора \(2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD}\) равна 13.
