Чтобы решить задачу, давайте пошагово выясним, что нужно сделать. Нам необходимо найти длину вектора (2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD}), где точки имеют координаты:
- (A(1, -6))
- (B(-2, 4))
- (C(-7, -3))
- (D(5, -2))
Шаг 1: Найти векторы (\vec{AC}) и (\vec{BD})
Вектор (\vec{AC}) можно найти, вычитая координаты точки (A) из координат точки (C):
[
\vec{AC} = C - A = (-7 - 1, -3 - (-6)) = (-8, 3)
]
Теперь найдем вектор (\vec{BD}):
[
\vec{BD} = D - B = (5 - (-2), -2 - 4) = (7, -6)
]
Шаг 2: Найти векторы (2 \cdot \vec{AC}) и (3 \cdot \vec{BD})
Теперь умножим векторы на указанные коэффициенты.
- Для вектора (2 \cdot \vec{AC}):
[
2 \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-8, 3) = (-16, 6)
]
- Для вектора (3 \cdot \vec{BD}):
[
3 \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (7, -6) = (21, -18)
]
Шаг 3: Сложить векторы (2 \cdot \vec{AC}) и (3 \cdot \vec{BD})
Теперь сложим оба полученных вектора:
[
2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD} = (-16, 6) + (21, -18) = (-16 + 21, 6 - 18) = (5, -12)
]
Шаг 4: Найти длину вектора ((5, -12))
Длину вектора ((x, y)) можно найти по формуле:
[
\text{длина} = \sqrt{x^2 + y^2}
]
В нашем случае:
[
\text{длина} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ
Таким образом, длина вектора (2 \cdot \vec{AC} + 3 \cdot \vec{BD}) равна 13.
