4. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите величину угла ВCD, если угол АСВ равен 60°, а угол ВАС равен 50°. 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС.

Решим обе задачи последовательно. ### Задача 4 **Условие:** У нас есть треугольник АВС, и сторона АВ продолжена за точку В до точки D так, что ВС = BD. Нам нужно найти угол ВCD, если угол АСВ равен 60°, а угол ВАС равен 50°. **Решение:** 1. **Запишем известные углы:** - Угол \( \angle ACB = 60° \) - Угол \( \angle BAC = 50° \) 2. **Найдем угол ABC:** Используем свойство суммы углов в треугольнике: \[ \angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle BAC = 180° - 60° - 50° = 70° \] 3. **Обозначим угол BCD как x:** В нашем случае, угол ВCD будет дополнять угол ABC при наличии прямолинейной линии. У нас образуется линейная пара углов, где: \[ \angle ABC + \angle BCD = 180° \] 4. **Подставим значение угла ABC:** \[ 70° + x = 180° \] \[ x = 180° - 70° = 110° \] Итак, величина угла \( \angle BCD = 110° \). ### Задача 5 **Условие:** У нас есть равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС, угол А равен 120°, и высота, проведенная из вершины В, равна 13. Нужно найти длину стороны BC. **Решение:** 1. **Вспомним свойства равнобедренного треугольника:** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим углы при основании как \( \angle ABC = \angle ACB \). 2. **Найдем углы:** Угол A равен 120°, значит: \[ \angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 120°}{2} = 30° \] 3. **Нарисуем высоту:** Высота \( h = 13 \) делит основание BC пополам, обозначим половину основания как \( x \). В результате мы получаем два прямоугольных треугольника BAH и CAH, где \( H \) - основание высоты. 4. **Используем тангенс угла:** С учетом прямоугольного треугольника \( BAH \): \[ \tan(30°) = \frac{h}{x} \] Мы знаем, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), поэтому: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{13}{x} \Rightarrow x = 13 \sqrt{3} \] 5. **Теперь найдем длину основания BC:** Поскольку основание BC состоит из двух частей, каждая из которых равна \( x \): \[ BC = 2x = 2(13\sqrt{3}) = 26\sqrt{3} \] Таким образом, длина стороны \( BC = 26\sqrt{3} \). **Ответы:** 1. Угол BCD = 110°. 2. Длина стороны BC = \( 26\sqrt{3} \).