1.Точка А равноудалена от вершин квадрата РКСМ на 25 см. Найдите косинус двугранного угла АРКС,если сторона квадрата равна 30.

Чтобы найти косинус двугранного угла \( AРКС \), нужно сначала понять, как расположены точки А, Р, К, С и М. Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.

1. Определим координаты вершин квадрата РКСМ.
   Предположим, что точка \( R \) у нас в начале координат (0, 0), тогда:

   • \( R(0, 0) \)
   • \( K(30, 0) \) — первая вершина (права).
   • \( C(30, 30) \) — вторая вершина (верхняя).
   • \( S(0, 30) \) — третья вершина (левая).

2. Найдём координаты точки А.
   Поскольку точка A равноудалена от всех вершин квадрата и её расстояние от них равно 25 см, это означает, что она расположена на одной и той же высоте.

   Для нахождения координат точки \( A \), нужно учесть, что: \[ d(A, R) = d(A, K) = d(A, C) = d(A, S) = 25 \text{ см} \]

   Расстояние между двумя точками в координатной плоскости \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   Подставляем расстояние 25 см, выводим уравнения.

3. Решим уравнения для точки A.
   Обозначим координаты точки \( A(x, y) \). Тогда:

   • От \( R(0, 0) \) до \( A(x, y) \): \[ \sqrt{x^2 + y^2} = 25 \implies x^2 + y^2 = 625 \]

   • От \( K(30, 0) \) до \( A(x, y) \): \[ \sqrt{(x - 30)^2 + y^2} = 25 \implies (x - 30)^2 + y^2 = 625 \]

   Раскроем скобки: \[ (x^2 - 60x + 900) + y^2 = 625 \implies x^2 - 60x + y^2 + 900 - 625 = 0 \] Подставим \( x^2 + y^2 = 625 \) в уравнение: \[ 625 - 60x + 275 = 0 \implies -60x + 900 = 0 \implies x = 15 \]

   Теперь подставляем \( x = 15 \) обратно для нахождения \( y \): \[ 15^2 + y^2 = 625 \implies 225 + y^2 = 625 \implies y^2 = 400 \implies y = 20 \text{ или } y = -20 \] Это означает, что A может находиться в точках \( (15, 20) \) или \( (15, -20) \).

4. Теперь найдем двугранный угол \( AРКС \).
   Мы рассматриваем плоскость, проходящую через \( A, R \) и \( K \), так же как \( A, S \) и \( C \). Для нахождения косинуса угла воспользуемся вектором. Для этого найдём векторы:

   • Вектор \( \overrightarrow{AR} = (0 - 15, 0 - 20) = (-15, -20) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{AK} = (30 - 15, 0 - 20) = (15, -20) \)

5. Вычислим косинус угла между векторами.
   Косинус угла между двумя векторами можно вычислить по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AR} \cdot \overrightarrow{AK}}{|\overrightarrow{AR}| |\overrightarrow{AK}|} \] Сначала посчитаем произведение скалярное: \[ \overrightarrow{AR} \cdot \overrightarrow{AK} = (-15)(15) + (-20)(-20) = -225 + 400 = 175 \]

   Далее находим длины векторов: \[ |\overrightarrow{AR}| = \sqrt{(-15)^2 + (-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \] \[ |\overrightarrow{AK}| = \sqrt{(15)^2 + (-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \] Теперь подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos(\theta) = \frac{175}{25 \cdot 25} = \frac{175}{625} = \frac{7}{25} \]

Таким образом, косинус двугранного угла \( AРКС \) равен \( \frac{7}{25} \).