Для решения задачи давайте обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город В как ( v ) км/ч. Расстояние между городами А и В составляет 72 км.
1. Определим время в пути из А в В
Так как скорость ( v ), а расстояние 72 км, то время, затраченное на путь из А в В, можно рассчитать по формуле:
[
t_1 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{72}{v} \text{ часов}
]
2. Определим время в пути из В в А
На обратном пути велосипедист увеличил скорость на 3 км/ч, то есть его новая скорость будет ( v + 3 ) км/ч. Время, затраченное на обратный путь без учета остановки, будет равно:
[
t_2 = \frac{72}{v + 3} \text{ часов}
]
Но он также сделал остановку на 2 часа, поэтому общее время на обратный путь равно:
[
t_2 + 2 = \frac{72}{v + 3} + 2
]
3. Сравняем времена
Согласно условию задачи, время на обратный путь с учетом остановки и время на путь из А в В равны:
[
\frac{72}{v + 3} + 2 = \frac{72}{v}
]
4. Упростим уравнение
Теперь, переместивая все члены на одну сторону, получаем:
[
\frac{72}{v + 3} + 2 - \frac{72}{v} = 0
]
Умножаем на ( v(v + 3) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
72v + 2v(v + 3) - 72(v + 3) = 0
]
Раскроем скобки:
[
72v + 2v^2 + 6v - 72v - 216 = 0
]
Упростим уравнение:
[
2v^2 + 6v - 216 = 0
]
5. Разделим уравнение на 2 для упрощения
[
v^2 + 3v - 108 = 0
]
6. Используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения
Формула дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 3 ), ( c = -108 ). Подставляем значения:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441
]
7. Находим корни уравнения
Теперь находим корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 21}{2}
]
Первый корень:
[
v_1 = \frac{18}{2} = 9
]
Второй корень:
[
v_2 = \frac{-24}{2} = -12
]
Оставим только положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной:
[
v = 9 \text{ км/ч}
]
8. Ответ
Скорость велосипедиста на пути из А в В составляет 9 км/ч.
