Задача 6
а) 21 монета, переворачиваем любые 20
Нам нужно выяснить, можем ли мы сделать так, чтобы все 21 монета были орлом вверх, если можем переворачивать любые 20 монет за одну операцию.
Начальное состояние: У нас есть 21 монета, все с решкой вверх:
РРРРРРРРРРРРРРРРРРРР.
Первая операция: Допустим, мы переворачиваем 20 монет.
После этой операции у нас будет 1 монета с решкой вверх, и 20 - с орлом вверх:
РРРРРРРРРРРРРРРРРРРО.
Вторую операцию: Теперь мы снова переворачиваем 20 монет.
Если мы перевернем 19 или 20 монет (в зависимости от того, какую из оставшихся в покое), то это будет запутанно в каждом следующем ходе.
При каждой операции мы меняем состояние 20 монет, при этом 1 монета остается в одном и том же состоянии. Поэтому вы не сможете добиться того, чтобы все монеты были орлом вверх, так как 1 монета всегда будет оставаться с решкой вверх.
Ответ: Нет, мы не можем сделать так, чтобы все монеты были орлом вверх.
б) 20 монет, переворачиваем 19
Аналогично, если у нас 20 монет, и мы можем переворачивать 19 из них.
Начальное состояние: 20 монет, все с решкой вверх:
РРРРРРРРРРРРРРРРРРР.
Первая операция: Перевернем 19 монет.
Теперь 1 остается с решкой, 19 - с орлом:
РРРРРРРРРРРРРРРРРО.
Следующая операция: Допустим, перевернем 19 монет из орла. Одна монета останется с решкой. И так далее...
В этом случае, как и в предыдущем, у нас всегда будет оставаться одна монета с решкой вверх. Таким образом, мы не сможем закончить с 20 монетами, все из которых с орлом вверх.
Ответ: Нет, мы не можем сделать так, чтобы все монеты были орлом вверх.
Задача 7
Дано:
- 3 секретарши работают вместе и перепечатывают 28 страниц за 1 час.
- Первая и вторая вместе перепечатывают 54 страницы за 3 часа.
- Всего было напечатано 98 страниц, первая работала 6 часов, вторая - 4 часа, третья - 1 час.
Обозначим скорость работы каждой секретарши:
- Скорость первой секретарши — ( x ) страниц в час.
- Скорость второй секретарши — ( y ) страниц в час.
- Скорость третьей секретарши — ( z ) страниц в час.
Система уравнений:
Общее число страниц, которые напечатали все вместе за 1 час:
[
x + y + z = 28
]
Первая и вторая секретарши за 3 часа печатают 54 страницы:
[
3(x + y) = 54 \quad \Rightarrow \quad x + y = 18
]
Теперь подставим ( x + y = 18 ) в первое уравнение:
[
18 + z = 28 \quad \Rightarrow \quad z = 10
]
- Теперь мы знаем скорость третьей секретарши:
[
z = 10
]
Зная ( z ), подставим его в ( x + y = 18 ):
[
x + y = 18
]
- Известно, сколько страниц они напечатали за определенное время:
[
6x + 4y + 1z = 98
]
Теперь подставим ( z = 10 ):
[
6x + 4y + 10 = 98 \quad \Rightarrow \quad 6x + 4y = 88
]
- Упростим это уравнение:
[
3x + 2y = 44
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
\begin{cases}
x + y = 18 \
3x + 2y = 44
\end{cases}
]
Решаем систему:
- Из первого уравнения можно выразить ( y ):
[
y = 18 - x
]
Подставим во второе уравнение:
[
3x + 2(18 - x) = 44
]
[
3x + 36 - 2x = 44
]
[
x + 36 = 44
]
[
x = 8
]
Теперь найдем ( y ):
[
y = 18 - 8 = 10
]
Ответы:
- Первая секретарша: 8 страниц в час.
- Вторая секретарша: 10 страниц в час.
- Третья секретарша: 10 страниц в час.
Задача 8
У нас есть 6 кошек: Долли, Салли, Молли, Чарли, Карли и Полли. Из условия известно, что
- У Долли, Салли, Молли, Чарли и Карли число тех, с кем они дрались, разное.
- Мы должны выяснить, со сколькими кошками дралась Полли.
Предположим, что:
- Долли дралась с 1 кошкой,
- Салли - с 2,
- Молли - с 3,
- Чарли - с 4,
- Карли - с 5.
Это значит, что количество драках у Полли будет только с карли, то есть с 1 из 6 (-1).
Поскольку у всех остальных кошек разное количество драк, это также подтверждает, что Полли дралась с 0 других кошек или с разными количествами.
Ответ: Полли дралась ни с одной кошкой или с 0.
Таким образом, Полли дралась с 0 кошками, поскольку каждая из остальных кошек имеет различное количество драк.
