6. а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается пере- вернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом…
6. а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается пере- вернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх? б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19. 7. Письменно. Три секретарши, работая вместе, перепечатывают за 1 час 28 страниц, первая и вторая вместе за 3 часа перепечатывают 54 страницы. Было напечатано 98 страниц, при этом первая секрегарша проработала 6 часов, вторая 4 часа, третья 1 час. Сколько страниц за час перепечатывает каждая секретарша? 8. Во дворе живут 6 кошек: Долли, Салли, Молли, Чарли, Карли и Полли. Каждому из них случалось драться с кем-нибудь из остальных, причем у Долли, Салли, Молли, Чарли и Карли число тех, кем они дрались разное. Со сколькими кошками дралась Полли?
Задача 6
а) 21 монета, переворачиваем любые 20
Нам нужно выяснить, можем ли мы сделать так, чтобы все 21 монета были орлом вверх, если можем переворачивать любые 20 монет за одну операцию.
Начальное состояние: У нас есть 21 монета, все с решкой вверх:
РРРРРРРРРРРРРРРРРРРР.Первая операция: Допустим, мы переворачиваем 20 монет.
После этой операции у нас будет 1 монета с решкой вверх, и 20 - с орлом вверх:
РРРРРРРРРРРРРРРРРРРО.Вторую операцию: Теперь мы снова переворачиваем 20 монет.
Если мы перевернем 19 или 20 монет (в зависимости от того, какую из оставшихся в покое), то это будет запутанно в каждом следующем ходе.
При каждой операции мы меняем состояние 20 монет, при этом 1 монета остается в одном и том же состоянии. Поэтому вы не сможете добиться того, чтобы все монеты были орлом вверх, так как 1 монета всегда будет оставаться с решкой вверх.
Ответ: Нет, мы не можем сделать так, чтобы все монеты были орлом вверх.
б) 20 монет, переворачиваем 19
Аналогично, если у нас 20 монет, и мы можем переворачивать 19 из них.
Начальное состояние: 20 монет, все с решкой вверх:
РРРРРРРРРРРРРРРРРРР.Первая операция: Перевернем 19 монет.
Теперь 1 остается с решкой, 19 - с орлом:
РРРРРРРРРРРРРРРРРО.Следующая операция: Допустим, перевернем 19 монет из орла. Одна монета останется с решкой. И так далее...
В этом случае, как и в предыдущем, у нас всегда будет оставаться одна монета с решкой вверх. Таким образом, мы не сможем закончить с 20 монетами, все из которых с орлом вверх.
Ответ: Нет, мы не можем сделать так, чтобы все монеты были орлом вверх.
Задача 7
Дано:
- 3 секретарши работают вместе и перепечатывают 28 страниц за 1 час.
- Первая и вторая вместе перепечатывают 54 страницы за 3 часа.
- Всего было напечатано 98 страниц, первая работала 6 часов, вторая - 4 часа, третья - 1 час.
Обозначим скорость работы каждой секретарши:
- Скорость первой секретарши — \( x \) страниц в час.
- Скорость второй секретарши — \( y \) страниц в час.
- Скорость третьей секретарши — \( z \) страниц в час.
Система уравнений:
Общее число страниц, которые напечатали все вместе за 1 час: \[ x + y + z = 28 \]
Первая и вторая секретарши за 3 часа печатают 54 страницы: \[ 3(x + y) = 54 \quad \Rightarrow \quad x + y = 18 \]
Теперь подставим \( x + y = 18 \) в первое уравнение: \[ 18 + z = 28 \quad \Rightarrow \quad z = 10 \]
- Теперь мы знаем скорость третьей секретарши: \[ z = 10 \]
Зная \( z \), подставим его в \( x + y = 18 \): \[ x + y = 18 \]
- Известно, сколько страниц они напечатали за определенное время: \[ 6x + 4y + 1z = 98 \]
Теперь подставим \( z = 10 \): \[ 6x + 4y + 10 = 98 \quad \Rightarrow \quad 6x + 4y = 88 \]
- Упростим это уравнение: \[ 3x + 2y = 44 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 18 \\ 3x + 2y = 44 \end{cases} \]
Решаем систему:
- Из первого уравнения можно выразить \( y \): \[ y = 18 - x \]
Подставим во второе уравнение: \[ 3x + 2(18 - x) = 44 \] \[ 3x + 36 - 2x = 44 \] \[ x + 36 = 44 \] \[ x = 8 \]
Теперь найдем \( y \): \[ y = 18 - 8 = 10 \]
Ответы:
- Первая секретарша: 8 страниц в час.
- Вторая секретарша: 10 страниц в час.
- Третья секретарша: 10 страниц в час.
Задача 8
У нас есть 6 кошек: Долли, Салли, Молли, Чарли, Карли и Полли. Из условия известно, что
- У Долли, Салли, Молли, Чарли и Карли число тех, с кем они дрались, разное.
- Мы должны выяснить, со сколькими кошками дралась Полли.
Предположим, что:
- Долли дралась с 1 кошкой,
- Салли - с 2,
- Молли - с 3,
- Чарли - с 4,
- Карли - с 5.
Это значит, что количество драках у Полли будет только с карли, то есть с 1 из 6 (-1).
Поскольку у всех остальных кошек разное количество драк, это также подтверждает, что Полли дралась с 0 других кошек или с разными количествами.
Ответ: Полли дралась ни с одной кошкой или с 0.
Таким образом, Полли дралась с 0 кошками, поскольку каждая из остальных кошек имеет различное количество драк.
