один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см меньше другого, а гипотенуза равна 2√61 см. найдите катеты этого треугольника.
Рассмотрим задачу о нахождении катетов прямоугольного треугольника, где один катет на 2 см меньше другого, а гипотенуза составляет \(2\sqrt{61}\) см.
Обозначим:
- Один катет как \(x\) см
- Другой катет, который на 2 см больше, как \(x + 2\) см
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где \(c\) — длина гипотенузы, а \(a\) и \(b\) — длины катетов. В нашем случае:
\[ (2\sqrt{61})^2 = x^2 + (x + 2)^2 \]
Теперь начнём решать уравнение:
- Находим квадрат гипотенузы.
\[ (2\sqrt{61})^2 = 4 \times 61 = 244 \]
- Запишем уравнение.
Теперь подставим это значение и можем записать следующее уравнение:
\[ 244 = x^2 + (x + 2)^2 \]
- Раскроем скобки.
\[ 244 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) \]
Упрощаем уравнение, соберем все термины:
\[ 244 = 2x^2 + 4x + 4 \]
- Сдвигаем всё в одну сторону уравнения.
\[ 0 = 2x^2 + 4x + 4 - 244 \]
Это преобразуется в:
\[ 0 = 2x^2 + 4x - 240 \]
- Упрощаем уравнение.
Разделим всё на 2:
\[ 0 = x^2 + 2x - 120 \]
- Решим квадратное уравнение.
Теперь используем дискриминант для решения уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -120\):
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \pm \sqrt{484}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{-2 \pm 22}}{2} \]
- Находим корни.
Первый корень:
\[ x_1 = \frac{{20}}{2} = 10 \]
Второй корень:
\[ x_2 = \frac{{-24}}{2} = -12 \quad (\text{Отрицательная длина не подходит}) \]
Таким образом, \(x = 10\) см.
- Находим второй катет.
Теперь находим длину второго катета:
\[ x + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ см} \]
- Итак, ответ:
- Один катет: \(10\) см
- Другой катет: \(12\) см
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны \(10\) см и \(12\) см.
