Рассмотрим задачу о нахождении катетов прямоугольного треугольника, где один катет на 2 см меньше другого, а гипотенуза составляет (2\sqrt{61}) см.
Обозначим:
- Один катет как (x) см
- Другой катет, который на 2 см больше, как (x + 2) см
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где (c) — длина гипотенузы, а (a) и (b) — длины катетов. В нашем случае:
[
(2\sqrt{61})^2 = x^2 + (x + 2)^2
]
Теперь начнём решать уравнение:
- Находим квадрат гипотенузы.
[
(2\sqrt{61})^2 = 4 \times 61 = 244
]
- Запишем уравнение.
Теперь подставим это значение и можем записать следующее уравнение:
[
244 = x^2 + (x + 2)^2
]
- Раскроем скобки.
[
244 = x^2 + (x^2 + 4x + 4)
]
Упрощаем уравнение, соберем все термины:
[
244 = 2x^2 + 4x + 4
]
- Сдвигаем всё в одну сторону уравнения.
[
0 = 2x^2 + 4x + 4 - 244
]
Это преобразуется в:
[
0 = 2x^2 + 4x - 240
]
- Упрощаем уравнение.
Разделим всё на 2:
[
0 = x^2 + 2x - 120
]
- Решим квадратное уравнение.
Теперь используем дискриминант для решения уравнения (ax^2 + bx + c = 0), где (a = 1), (b = 2), (c = -120):
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484
]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 \pm \sqrt{484}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{-2 \pm 22}}{2}
]
- Находим корни.
Первый корень:
[
x_1 = \frac{{20}}{2} = 10
]
Второй корень:
[
x_2 = \frac{{-24}}{2} = -12 \quad (\text{Отрицательная длина не подходит})
]
Таким образом, (x = 10) см.
- Находим второй катет.
Теперь находим длину второго катета:
[
x + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ см}
]
- Итак, ответ:
- Один катет: (10) см
- Другой катет: (12) см
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (10) см и (12) см.
