Найди f(45) — f(54), если для любых действительных т и у справедливо равенство f(x-y)= f(x)+f(y)+2xy

Давайте решим задачу, шаг за шагом. Нам нужно найти \( f(45) - f(54) \) при условии, что для любых действительных \( x \) и \( y \) справедливо равенство \( f(x - y) = f(x) + f(y) + 2xy \). ### Шаг 1: Найдём значение функции \( f(0) \) Для начала давайте подставим \( x = y \) в уравнение. \[ f(x - x) = f(0) = f(x) + f(x) + 2x^2 \] Это можно записать как: \[ f(0) = 2f(x) + 2x^2 \] Теперь решим уравнение для \( f(x) \): \[ f(0) - 2x^2 = 2f(x) \implies f(x) = \frac{f(0) - 2x^2}{2} \] Обозначим \( f(0) \) за \( C \): \[ f(x) = \frac{C - 2x^2}{2} \] ### Шаг 2: Проверим, удовлетворяет ли функция нашему исходному уравнению Теперь подставим \( f(x) = \frac{C - 2x^2}{2} \) в исходное уравнение: 1. Вычислим \( f(x - y) \): \[ f(x - y) = \frac{C - 2(x - y)^2}{2} = \frac{C - 2(x^2 - 2xy + y^2)}{2} = \frac{C - 2x^2 + 4xy - 2y^2}{2} \] 2. Вычислим \( f(x) + f(y) + 2xy \): \[ f(x) + f(y) = \frac{C - 2x^2}{2} + \frac{C - 2y^2}{2} = \frac{2C - 2(x^2 + y^2)}{2} = C - x^2 - y^2 \] Теперь добавим \( 2xy \): \[ f(x) + f(y) + 2xy = C - x^2 - y^2 + 2xy \] ### Шаг 3: Сравним обе стороны Теперь у нас есть: \[ f(x - y) = \frac{C - 2x^2 + 4xy - 2y^2}{2} \] и \[ f(x) + f(y) + 2xy = C - x^2 - y^2 + 2xy \] При равенстве: \[ \frac{C - 2x^2 + 4xy - 2y^2}{2} = C - x^2 - y^2 + 2xy \] Умножим обе стороны на 2: \[ C - 2x^2 + 4xy - 2y^2 = 2C - 2x^2 - 2y^2 + 4xy \] Теперь сократим: \[ C - 2x^2 + 4xy - 2y^2 = 2C - 2x^2 - 2y^2 + 4xy \] Таким образом, мы видим, что \( C \) может быть любым числом. ### Шаг 4: Подумаем о значении функции при определённых числах Мы можем взять \( C = 0 \) (это упростит расчет). Таким образом, фукнция будет: \[ f(x) = -x^2 \] Проверим на примерах, например, \( f(45) \) и \( f(54) \). ### Шаг 5: Находим \( f(45) \) и \( f(54) \) \[ f(45) = -(45)^2 = -2025 \] \[ f(54) = -(54)^2 = -2916 \] ### Шаг 6: Рассчитаем \( f(45) - f(54) \) Теперь найдем разность: \[ f(45) - f(54) = -2025 - (-2916) = -2025 + 2916 = 891 \] ### Ответ: Таким образом, \( f(45) - f(54) = 891 \).