Найди f(45) — f(54), если для любых действительных т и у справедливо равенство f(x-y)= f(x)+f(y)+2xy
Давайте решим задачу, шаг за шагом. Нам нужно найти \( f(45) - f(54) \) при условии, что для любых действительных \( x \) и \( y \) справедливо равенство \( f(x - y) = f(x) + f(y) + 2xy \).
Шаг 1: Найдём значение функции \( f(0) \)
Для начала давайте подставим \( x = y \) в уравнение.
\[ f(x - x) = f(0) = f(x) + f(x) + 2x^2 \]
Это можно записать как:
\[ f(0) = 2f(x) + 2x^2 \]
Теперь решим уравнение для \( f(x) \):
\[ f(0) - 2x^2 = 2f(x) \implies f(x) = \frac{f(0) - 2x^2}{2} \]
Обозначим \( f(0) \) за \( C \):
\[ f(x) = \frac{C - 2x^2}{2} \]
Шаг 2: Проверим, удовлетворяет ли функция нашему исходному уравнению
Теперь подставим \( f(x) = \frac{C - 2x^2}{2} \) в исходное уравнение:
Вычислим \( f(x - y) \): \[ f(x - y) = \frac{C - 2(x - y)^2}{2} = \frac{C - 2(x^2 - 2xy + y^2)}{2} = \frac{C - 2x^2 + 4xy - 2y^2}{2} \]
Вычислим \( f(x) + f(y) + 2xy \): \[ f(x) + f(y) = \frac{C - 2x^2}{2} + \frac{C - 2y^2}{2} = \frac{2C - 2(x^2 + y^2)}{2} = C - x^2 - y^2 \]
Теперь добавим \( 2xy \): \[ f(x) + f(y) + 2xy = C - x^2 - y^2 + 2xy \]
Шаг 3: Сравним обе стороны
Теперь у нас есть:
\[ f(x - y) = \frac{C - 2x^2 + 4xy - 2y^2}{2} \] и \[ f(x) + f(y) + 2xy = C - x^2 - y^2 + 2xy \]
При равенстве: \[ \frac{C - 2x^2 + 4xy - 2y^2}{2} = C - x^2 - y^2 + 2xy \]
Умножим обе стороны на 2: \[ C - 2x^2 + 4xy - 2y^2 = 2C - 2x^2 - 2y^2 + 4xy \]
Теперь сократим: \[ C - 2x^2 + 4xy - 2y^2 = 2C - 2x^2 - 2y^2 + 4xy \]
Таким образом, мы видим, что \( C \) может быть любым числом.
Шаг 4: Подумаем о значении функции при определённых числах
Мы можем взять \( C = 0 \) (это упростит расчет). Таким образом, фукнция будет:
\[ f(x) = -x^2 \]
Проверим на примерах, например, \( f(45) \) и \( f(54) \).
Шаг 5: Находим \( f(45) \) и \( f(54) \)
\[ f(45) = -(45)^2 = -2025 \] \[ f(54) = -(54)^2 = -2916 \]
Шаг 6: Рассчитаем \( f(45) - f(54) \)
Теперь найдем разность:
\[ f(45) - f(54) = -2025 - (-2916) = -2025 + 2916 = 891 \]
Ответ:
Таким образом, \( f(45) - f(54) = 891 \).
