При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель…

Рассмотрим задачу и разберем ее шаг за шагом. Здесь нам необходимо выяснить, сколько выстрелов потребуется, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9.

Шаг 1: Определение вероятностей

1. Вероятность уничтожения цели с первого выстрела: \( p_1 = 0.3 \)
2. Вероятность уничтожения цели со второго и последующих выстрелов: \( p_2 = 0.4 \)

Вероятность не уничтожения цели при первом выстреле:
\[ P_{not1} = 1 - p_1 = 1 - 0.3 = 0.7 \]

Вероятность не уничтожения цели при каждом следующем выстреле:
\[ P_{not2} = 1 - p_2 = 1 - 0.4 = 0.6 \]

Шаг 2: Вероятность уничтожения после \( n \) выстрелов

Чтобы выжить после \( n \) выстрелов, цель должна остаться в живых после всех предыдущих выстрелов. Это означает, что:

• После первого выстрела она не уничтожена с вероятностью \( 0.7 \)
• После каждого из последующих выстрелов (суммарно \( n-1 \) выстрелов) – с вероятностью \( 0.6 \)

Таким образом, вероятность того, что цель не будет уничтожена после \( n \) выстрелов: \[ P_{not}(n) = P_{not1} \cdot (P_{not2})^{n-1} = 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} \]

Следовательно, вероятность уничтожения цели после \( n \) выстрелов будет равна: \[ P_{destroyed}(n) = 1 - P_{not}(n) = 1 - 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} \]

Шаг 3: Найдем минимальное \( n \)

Теперь нам нужно решить неравенство: \[ 1 - 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} \geq 0.9 \]

Перепишем его: \[ 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} \leq 0.1 \]

Делим обе стороны на 0.7: \[ (0.6)^{n-1} \leq \frac{0.1}{0.7} \] \[ (0.6)^{n-1} \leq \approx 0.142857 \]

Шаг 4: Логарифмирование

Для нахождения \( n \), применим логарифмы: \[ n - 1 \geq \frac{\log(0.142857)}{\log(0.6)} \]

Теперь вычислим значение:

1. Вычисляем \( \log(0.142857) \):
   • Приблизительно \( \log(0.142857) \approx -0.8451 \)
2. Вычисляем \( \log(0.6) \):
   • Приблизительно \( \log(0.6) \approx -0.2218 \)

Теперь подставим значения: \[ n - 1 \geq \frac{-0.8451}{-0.2218} \approx 3.81 \] \[ n \geq 4.81 \]

Значит, минимально подходящее целое число \( n \) будет равно 5.

Ответ

Таким образом, для того чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9, потребуется не менее 5 выстрелов.