Рассмотрим задачу и разберем ее шаг за шагом. Здесь нам необходимо выяснить, сколько выстрелов потребуется, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9.
Шаг 1: Определение вероятностей
- Вероятность уничтожения цели с первого выстрела: ( p_1 = 0.3 )
- Вероятность уничтожения цели со второго и последующих выстрелов: ( p_2 = 0.4 )
Вероятность не уничтожения цели при первом выстреле:
[ P_{not1} = 1 - p_1 = 1 - 0.3 = 0.7 ]
Вероятность не уничтожения цели при каждом следующем выстреле:
[ P_{not2} = 1 - p_2 = 1 - 0.4 = 0.6 ]
Шаг 2: Вероятность уничтожения после ( n ) выстрелов
Чтобы выжить после ( n ) выстрелов, цель должна остаться в живых после всех предыдущих выстрелов. Это означает, что:
- После первого выстрела она не уничтожена с вероятностью ( 0.7 )
- После каждого из последующих выстрелов (суммарно ( n-1 ) выстрелов) – с вероятностью ( 0.6 )
Таким образом, вероятность того, что цель не будет уничтожена после ( n ) выстрелов:
[ P_{not}(n) = P_{not1} \cdot (P_{not2})^{n-1} = 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} ]
Следовательно, вероятность уничтожения цели после ( n ) выстрелов будет равна:
[ P_{destroyed}(n) = 1 - P_{not}(n) = 1 - 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} ]
Шаг 3: Найдем минимальное ( n )
Теперь нам нужно решить неравенство:
[ 1 - 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} \geq 0.9 ]
Перепишем его:
[ 0.7 \cdot (0.6)^{n-1} \leq 0.1 ]
Делим обе стороны на 0.7:
[ (0.6)^{n-1} \leq \frac{0.1}{0.7} ]
[ (0.6)^{n-1} \leq \approx 0.142857 ]
Шаг 4: Логарифмирование
Для нахождения ( n ), применим логарифмы:
[ n - 1 \geq \frac{\log(0.142857)}{\log(0.6)} ]
Теперь вычислим значение:
- Вычисляем ( \log(0.142857) ):
- Приблизительно ( \log(0.142857) \approx -0.8451 )
- Вычисляем ( \log(0.6) ):
- Приблизительно ( \log(0.6) \approx -0.2218 )
Теперь подставим значения:
[ n - 1 \geq \frac{-0.8451}{-0.2218} \approx 3.81 ]
[ n \geq 4.81 ]
Значит, минимально подходящее целое число ( n ) будет равно 5.
Ответ
Таким образом, для того чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,9, потребуется не менее 5 выстрелов.
