Чтобы решить задачу, нам нужно понять зависимость периода колебаний пружины от массы груза. Период колебаний (T) для простого гармонического осциллятора, такого как груз на пружине, определяется формулой:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
где:
- ( T ) — период колебаний,
- ( m ) — масса груза,
- ( k ) — жесткость пружины.
Шаг 1: Определим текущий период
Пусть первая масса груза ( m_1 = 160 , \text{г} = 0.16 , \text{кг} ). Период для этой массы обозначим как ( T_1 ):
[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.16}{k}}
]
Шаг 2: Условие для нового периода
Нам необходимо увеличить период в 2 раза, то есть:
[
T_2 = 2T_1
]
Применим формулу для нового периода:
[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \quad \text{(где ( m_2 ) — новая масса груза)}
]
Теперь подставим выражение для ( T_2 ):
[
2T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}}
]
Шаг 3: Подставим значение ( T_1 )
Подставим уже известное значение для ( T_1 ):
[
2 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}}
]
Сократим ( 2\pi ) с обеих сторон:
[
2\sqrt{\frac{m_1}{k}} = \sqrt{\frac{m_2}{k}}
]
Шаг 4: Уберём корень
Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
[
4 \cdot \frac{m_1}{k} = \frac{m_2}{k}
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Сократим ( k ):
[
4m_1 = m_2
]
Шаг 6: Найдём новую массу
Теперь подставим значение ( m_1 = 0.16 , \text{кг} ):
[
m_2 = 4 \cdot 0.16 = 0.64 , \text{кг}
]
Итоговый ответ
Чтобы период колебаний увеличился в 2 раза, нужно подвесить груз массой ( 640 , \text{г} ) или ( 0.64 , \text{кг} ).
