Груз массой 160 г, подвешенный на лёгкой пружине, совершает свободные гармонические колебания. Какой массы груз нужно подвесить к той же пружине, чтобы период колебаний увеличится…

Чтобы решить задачу, нам нужно понять зависимость периода колебаний пружины от массы груза. Период колебаний (T) для простого гармонического осциллятора, такого как груз на пружине, определяется формулой:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

где:

• \( T \) — период колебаний,
• \( m \) — масса груза,
• \( k \) — жесткость пружины.

Шаг 1: Определим текущий период

Пусть первая масса груза \( m_1 = 160 \, \text{г} = 0.16 \, \text{кг} \). Период для этой массы обозначим как \( T_1 \):

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.16}{k}} \]

Шаг 2: Условие для нового периода

Нам необходимо увеличить период в 2 раза, то есть:

\[ T_2 = 2T_1 \]

Применим формулу для нового периода:

\[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \quad \text{(где \( m_2 \) — новая масса груза)} \]

Теперь подставим выражение для \( T_2 \):

\[ 2T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]

Шаг 3: Подставим значение \( T_1 \)

Подставим уже известное значение для \( T_1 \):

\[ 2 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]

Сократим \( 2\pi \) с обеих сторон:

\[ 2\sqrt{\frac{m_1}{k}} = \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]

Шаг 4: Уберём корень

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ 4 \cdot \frac{m_1}{k} = \frac{m_2}{k} \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Сократим \( k \):

\[ 4m_1 = m_2 \]

Шаг 6: Найдём новую массу

Теперь подставим значение \( m_1 = 0.16 \, \text{кг} \):

\[ m_2 = 4 \cdot 0.16 = 0.64 \, \text{кг} \]

Итоговый ответ

Чтобы период колебаний увеличился в 2 раза, нужно подвесить груз массой \( 640 \, \text{г} \) или \( 0.64 \, \text{кг} \).