В классе 23 ученика. Тренеру нужно выбрать учеников в количестве 4 человек, которые будут защищать честь школы на турслёте. Причём: 1) заболевшего Васю брать точно нельзя. 2)…
В классе 23 ученика. Тренеру нужно выбрать учеников в количестве 4 человек, которые будут защищать честь школы на турслёте. Причём: 1) заболевшего Васю брать точно нельзя. 2) Витя, лучший бегун среди одноклассников, однозначно будет в команде. 3) А подружек Надю и Таню нельзя разлучать ни в коем случае. Сколько у тренера способов собрать команду с учётом всех трёх условий? (В ответе запиши только число.)
Для решения задачи начнем с выделения определенных условий и подсчета возможных комбинаций учеников.
- Имеем 23 ученика в классе, из которых:
- Вася не может быть в команде (вычитаем его).
- Витя обязательно должен быть в команде (добавляем его).
- Надя и Таня должны быть вместе в команде.
Теперь определим, кого именно мы можем выбрать в команду с учетом заданных условий:
Итак, из 23 учеников вычитаем Васю:
- 22 ученика (это наши оставшиеся кандидаты).
Поскольку Витя обязательно в команде, мы можем считать его как одного из четырех выбранных (т.е. одну позицию уже заняли).
Надя и Таня должны быть в команде вместе, так что их можно считать одной «единицей» (группой), т.е. вместо двух человек мы рассматриваем одну группу «Надя и Таня». В итоге у нас получается следующая структура:
- Витя (1)
- Друзья Надя и Таня (группа) (1)
- Остальные ученики (20 человек, поскольку 22 - Витя - Надя - Таня = 20)
Теперь у нас 3 «единицы» (Витя, группа Нади и Тани и другие ученики) и нам нужно выбрать 2 дополнительных ученика среди 20 оставшихся.
Таким образом, нам нужно выбрать 2 человека из 20, что можно сделать с помощью комбинаций:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] где \( n \) — общее количество, а \( k \) — количество выбираемых.
В нашем случае \( n = 20 \) и \( k = 2 \):
\[ C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20 - 2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \]
Таким образом, количество способов собрать команду с учетом всех условий составляет:
190
