В окружность с центром O O вписали треугольник M N K MNK , где M N = N K MN=NK и ∠ M N K = 13 6 ∘ ∠MNK=136 ∘ . Найди угол N O K NOK . Ответ запиши в градусах.
Чтобы решить задачу, начнем с анализа имеющихся данных. Мы имеем:
- Окружность с центром \( O \).
- Вписанный треугольник \( MNK \), в котором дано, что \( MN = NK \) (т.е. треугольник равнобедренный) и угол \( \angle MNK = 136^\circ \).
Нам нужно найти угол \( \angle NOK \).
Шаг 1: Определим углы треугольника \( MNK \)
Так как \( MN = NK \), это означает, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обозначим угол \( \angle MKN \) как \( x \) градусов. Поскольку сумма всех углов треугольника равна \( 180^\circ \), можем записать уравнение:
\[ \angle MNK + \angle MKN + \angle NKM = 180^\circ \]
Подставим известные значения:
\[ 136^\circ + x + x = 180^\circ \]
Это можно упростить до:
\[ 136^\circ + 2x = 180^\circ \]
Шаг 2: Найдем угол \( x \)
Теперь решим уравнение для \( x \):
\[ 2x = 180^\circ - 136^\circ \] \[ 2x = 44^\circ \] \[ x = \frac{44^\circ}{2} = 22^\circ \]
Таким образом, мы нашли:
\[ \angle MKN = \angle NKM = 22^\circ \]
Шаг 3: Найдем угол \( NOK \)
Теперь давайте найдем угол \( NOK \). Углы, которые образуют радиус окружности и касательную к окружности в точке касания, имеют специальное соотношение. Угол, образованный радиусом \( O \) и хордой \( NK \), равен углу, вписанному в противолежащую дугу \( NK \), в данном случае это \( \angle MNK \).
Итак, можно записать:
\[ \angle NOK = \frac{1}{2} \cdot \angle MNK \]
Подставим известное значение:
\[ \angle NOK = \frac{1}{2} \cdot 136^\circ = 68^\circ \]
Ответ
Таким образом, угол \( NOK = 68^\circ \).
