Найдите точку максимума y = x ^ 3 + 15x ^ 2 + 17
Чтобы найти точку максимума функции \( y = x^3 + 15x^2 + 17 \), мы будем следовать следующим шагам:
Найдем первую производную функции \( y \): Производная функции \( y \) покажет, где функция увеличивается и уменьшается. Для этого мы найдем первую производную по \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 15x^2 + 17) = 3x^2 + 30x \]
Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: \[ 3x^2 + 30x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 3x(x + 10) = 0 \] Это уравнение равно нулю, если: \[ 3x = 0 \quad \text{или} \quad x + 10 = 0 \] То есть, \( x = 0 \) или \( x = -10 \). Эти значения — наши критические точки.
Найдем вторую производную функции \( y \): Вторая производная даст нам информацию о свойствах критических точек (максимум, минимум или точка перегиба): \[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 + 15x^2 + 17) = 6x + 30 \]
Подставим критические точки во вторую производную: Теперь проверим, какая из критических точок является максимумом, подставив их в вторую производную.
Для \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) + 30 = 30 \quad (> 0) \] Это указывает на то, что в точке \( x = 0 \) есть минимум.
Для \( x = -10 \): \[ y''(-10) = 6(-10) + 30 = -60 + 30 = -30 \quad (< 0) \] Это значит, что в точке \( x = -10 \) есть максимум.
Найдём значение функции в точке максимума: Теперь вычислим значение функции \( y \) в точке максимума \( x = -10 \): \[ y(-10) = (-10)^3 + 15(-10)^2 + 17 \] \[ = -1000 + 15 \cdot 100 + 17 \] \[ = -1000 + 1500 + 17 \] \[ = -1000 + 1517 = 517 \]
Таким образом, точка максимума функции \( y = x^3 + 15x^2 + 17 \) равна \( (-10, 517) \).
