Чтобы понять, как изменится потенциальная энергия взаимодействия двух точечных тел при изменении их зарядов и расстояния, давайте вспомним формулу для электростатического взаимодействия, известную как формула Кулона.
Формула Кулона
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов ( Q_1 ) и ( Q_2 ) на расстоянии ( r ) от друг друга описывается такой формулой:
[
U = k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r}
]
где:
- ( U ) — потенциальная энергия,
- ( k ) — электростатическая постоянная (приблизительно равна ( 8.99 \times 10^9 , \text{Н м}^2/\text{Кл}^2 )),
- ( Q_1 ) и ( Q_2 ) — величины зарядов,
- ( r ) — расстояние между зарядами.
Изменения в задаче
Заряды уменьшили в девять раз:
[
Q_1' = \frac{Q_1}{9}, \quad Q_2' = \frac{Q_2}{9}
]
Расстояние уменьшили в два раза:
[
r' = \frac{r}{2}
]
Подставим новые значения в формулу
Теперь подставим новые значения в формулу для потенциальной энергии:
[
U' = k \cdot \frac{Q_1' \cdot Q_2'}{r'}
]
Подставим значения:
[
U' = k \cdot \frac{\left(\frac{Q_1}{9}\right) \cdot \left(\frac{Q_2}{9}\right)}{\frac{r}{2}}
]
Упростим это выражение:
[
U' = k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{9 \cdot 9} \cdot \frac{2}{r} = k \cdot \frac{2 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{81 \cdot r}
]
Сравнение с исходной энергетикой
Исходная потенциальная энергия ( U ) была:
[
U = k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r}
]
Сравнивая ( U' ) и ( U ):
[
\frac{U'}{U} = \frac{k \cdot \frac{2 \cdot Q_1 \cdot Q_2}{81 \cdot r}}{k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r}} = \frac{2}{81}
]
Ответ
Таким образом, потенциальная энергия уменьшится в (\frac{2}{81}) раз. Это значит, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных тел изменится в 40.5 раз меньше по сравнению с первоначальной.
