Вероятность попасть к первому экзаменатору — 0,6, ко второму — 0,4. Вероятность получить «5» у первого — 0,4, у второго — 0,3. Студент получил «5». Найти вероятность, что он сдавал первому преподавателю.
Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Байеса. Нам нужно рассчитать вероятность того, что студент был у первого экзаменатора, при условии что он получил «5».
Обозначим события:
- \( A_1 \): студент сдавал первому экзаменатору.
- \( A_2 \): студент сдавал второму экзаменатору.
- \( B \): студент получил «5».
Сначала запишем известные нам вероятности:
- \( P(A_1) = 0,6 \) (вероятность попасть к первому экзаменатору)
- \( P(A_2) = 0,4 \) (вероятность попасть ко второму экзаменатору)
- \( P(B|A_1) = 0,4 \) (вероятность получить «5» у первого экзаменатора)
- \( P(B|A_2) = 0,3 \) (вероятность получить «5» у второго экзаменатора)
1. **Рассчитаем полную вероятность события \( B \)** (т.е. получить «5»):
Используя формулу полной вероятности, мы получаем:
\[
P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2)
\]
Подставим известные значения:
\[
P(B) = 0,4 \cdot 0,6 + 0,3 \cdot 0,4
\]
\[
P(B) = 0,24 + 0,12 = 0,36
\]
2. **Теперь рассчитаем вероятность события \( A_1 \) при условии события \( B \)** (вероятность того, что студент сдавал первому экзаменатору, если он получил «5»):
Используя формулу Байеса:
\[
P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}
\]
Подставим наши значения:
\[
P(A_1|B) = \frac{0,4 \cdot 0,6}{0,36}
\]
\[
P(A_1|B) = \frac{0,24}{0,36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}
\]
3. **Вывод:**
Таким образом, вероятность того, что студент сдавал первому экзаменатору при условии, что он получил «5», составляет \( \frac{2}{3} \) или примерно 0,67.
Это означает, что есть 67% вероятность, что студент сдавал первому экзаменатору, если он получил оценку «5».
