Выяснить, является ли функция y = x sin x чётной или нечетной

Чтобы определить, является ли функция \( y = x \sin x \) чётной или нечётной, мы должны проверить свойства чётных и нечётных функций.

1. Чётная функция: Функция \( f(x) \) называется чётной, если для всех \( x \) справедливо равенство: \[ f(-x) = f(x) \]

2. Нечётная функция: Функция \( f(x) \) называется нечётной, если для всех \( x \) справедливо равенство: \[ f(-x) = -f(x) \]

Теперь, применим эти определения к нашей функции \( f(x) = x \sin x \).

3. Находим \( f(-x) \): \[ f(-x) = -x \sin(-x) \]

Согласно свойству синуса, мы знаем, что \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Подставим это в выражение: \[ f(-x) = -x (-\sin x) = x \sin x \] То есть: \[ f(-x) = x \sin x = f(x) \]

4. Проверка на чётность: Мы видим, что \( f(-x) = f(x) \). Это значит, что функция \( y = x \sin x \) является чётной функцией.

5. Проверка на нечётность: Для проверки на нечётность, мы видим: \[ f(-x) = x \sin x \text{ и не равно } -f(x) = -x \sin x \] Следовательно, функция не является нечётной.

Вывод

Функция \( y = x \sin x \) является чётной.