Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё…
Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё 20 минут, а Оле - ещё 5 минут. Найдите, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, если всё время они шли с постоянной скоростью.
Чтобы найти, через сколько минут после выхода встретились Юра и Оля, давайте обозначим время, прошедшее с момента их выхода до встречи, как \( t \) минут.
Теперь рассмотрим информацию о времени, которое осталось каждому:
- Юра остался идти ещё 20 минут.
- Оля осталась идти ещё 5 минут.
Так как они движутся к друг другу с постоянной скоростью, можно использовать информацию о времени, чтобы установить соотношение между их скоростями и путями.
Если Юра еще должен идти 20 минут, то за это время он пройдет определенное расстояние, которое можно обозначить как \( v_Y \) (скорость Юры): \[ \text{Расстояние, которое пройдет Юра до встречи} = v_Y \cdot 20 \]
Если Оля должна идти еще 5 минут, то она пройдет расстояние, обозначаемое как \( v_O \) (скорость Оли): \[ \text{Расстояние, которое пройдет Оля до встречи} = v_O \cdot 5 \]
Так как в момент встречи оба они находились на одной линии, и оба расстояния, которые они прошли, должны быть равны:
\[ v_Y \cdot 20 = v_O \cdot 5 \]
Теперь, чтобы выразить одну скорость через другую, можно переписать равенство:
\[ \frac{v_Y}{v_O} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Это означает, что скорость Юры в 4 раза меньше скорости Оли, т.е.:
\[ v_Y = \frac{1}{4}v_O \]
Теперь вернемся к времени, прошедшему с момента выхода до встречи, \( t \). Когда Юра идет \( t \) минут, он проходит расстояние, равное:
\[ \text{Расстояние Юры} = v_Y \cdot t \]
Когда Оля идет те же \( t \) минут, она проходит расстояние:
\[ \text{Расстояние Оли} = v_O \cdot t \]
На момент встречи, так как Юра должен еще идти 20 минут, общее расстояние, которое он прошел до встречи, равно:
\[ v_Y \cdot t = v_O \cdot (t + 5) \]
Подставим \( v_Y = \frac{1}{4}v_O \) в уравнение:
\[ \frac{1}{4}v_O \cdot t = v_O \cdot (t + 5) \]
Делим обе стороны на \( v_O \) (предполагая, что скорость не равна нулю):
\[ \frac{1}{4}t = t + 5 \]
Теперь снова умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[ t = 4t + 20 \]
Переносим все \( t \) на одну сторону:
\[ -3t = 20 \]
Теперь делим обе стороны на -3:
\[ t = \frac{20}{3} \approx 6.67 \]
Таким образом, Юра и Оля встретились примерно через 6.67 минут (или 6 минут и 40 секунд) после выхода.
