Решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- скорость пассажирского поезда — ( v_p ) (км/ч),
- скорость скорого поезда — ( v_s ) (км/ч).
Пусть ( t ) — время, за которое оба поезда встретятся при их настоящих скоростях. Тогда расстояние, на которое они проедут до встречи, можно выразить следующим образом:
[
(v_p + v_s) \cdot t = 600 \quad (1)
]
Теперь рассмотрим ситуацию, когда оба поезда движутся со скоростью скорого поезда (( v_s )). В этом случае время до встречи будет меньше на 1 час:
[
v_s \cdot (t - 1) = 600 \quad (2)
]
Аналогично, если оба поезда движутся со скоростью пассажирского поезда (( v_p )), время до встречи будет больше на 2 часа:
[
v_p \cdot (t + 2) = 600 \quad (3)
]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений (1), (2) и (3). Мы можем выразить ( t ) из каждого уравнения.
Из уравнения (1) можно выразить ( t ):
[
t = \frac{600}{v_p + v_s} \quad (4)
]
Теперь подставим это значение в уравнение (2):
[
v_s \cdot \left(\frac{600}{v_p + v_s} - 1\right) = 600
]
Умножим обе стороны на ( v_p + v_s ):
[
v_s \cdot (600 - (v_p + v_s)) = 600(v_p + v_s)
]
Раскроем скобки:
[
600v_s - v_s v_p - v_s^2 = 600v_p + 600v_s
]
Сократим ( 600v_s ) с обеих сторон:
[
-v_s v_p - v_s^2 = 600v_p
]
Перепишем уравнение:
[
v_s v_p + v_s^2 + 600v_p = 0 \quad (5)
]
Теперь подставим ( t ) из уравнения (4) в уравнение (3):
[
v_p \cdot \left(\frac{600}{v_p + v_s} + 2\right) = 600
]
Умножим обе стороны на ( v_p + v_s ):
[
v_p \cdot (600 + 2(v_p + v_s)) = 600(v_p + v_s)
]
[
600v_p + 2v_p^2 + 2v_p v_s = 600v_p + 600v_s
]
Сократим ( 600v_p ) с обеих сторон:
[
2v_p^2 + 2v_p v_s - 600v_s = 0
]
Отсюда можно выразить второе уравнение (правда, тоже окажется квадратичным):
[
2v_p^2 + 2v_p v_s = 600v_s
]
[
v_p^2 + v_p v_s - 300v_s = 0 \quad (6)
]
Теперь у нас есть система уравнений (5) и (6). Мы можем выразить одно из переменных и затем подставлять его в другое. Например, выразим ( v_s ) из уравнения (5):
[
v_s^2 + v_s v_p + 600v_p = 0
]
Используем дискриминант для получения корней этого уравнения:
[
D = v_p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (600v_p) = v_p^2 - 2400v_p
]
Однако проще проделать это через подстановку, давайте решим численно.
Найдём скорость поездов. Подобные уравнения методом проб делаем так:
- Проба номер 1. Пусть ( v_s = 90 ) км/ч, тогда
[
v_p = 300 - 90 = 210 \quad (неподходяще, но низко)
]
Далее, подберем более более высокие значения.
- Проба номер 2: ( v_s = 100 ), ( v_p = 200 ):
(
t = \frac{60}{300} = 2.
)
Таким образом выводы будут таковы:
- Скорый = 100 км/ч
- Пассажирский = 200 км/ч
Так и проверяем, что общее будет. Если ( v_s = 100 ), ( v_p = 200 ) действительно можно утверждать, что у нас расчетный 600 верен!
Ответ:
Скорость пассажирского поезда ( v_p = 200 ) км/ч, скорость скорого поезда ( v_s = 100 ) км/ч.
