{x²-2y²+x=6}
Давайте решим уравнение \(x^2 - 2y^2 + x = 6\) и разберем его шаг за шагом.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Первым делом мы можем привести уравнение к стандартному виду, переместив все члены на одну сторону:
\[ x^2 - 2y^2 + x - 6 = 0 \]
Это уравнение можно рассмотреть как уравнение, содержащее две переменные \(x\) и \(y\).
Шаг 2: Поиск корней уравнения
Мы можем взять это уравнение и выделить \(y^2\):
\[ 2y^2 = x^2 + x - 6 \] \[ y^2 = \frac{x^2 + x - 6}{2} \]
Шаг 3: Анализ выражения для \(y^2\)
Теперь мы видим, что \(y^2\) зависит от \(x\). Чтобы у нас были действительные значения \(y\), необходимо, чтобы \(x^2 + x - 6 \geq 0\).
Шаг 4: Решение неравенства
Решим неравенство:
\[ x^2 + x - 6 \geq 0 \]
Для этого находим корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2} = \{2, -3\} \]
Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 2\) и \(x = -3\).
Шаг 5: Определим интервал для \(x\)
Теперь решим неравенство:
\[ x^2 + x - 6 \geq 0 \]
Из графика или тестирования знаков на интервалах \( (-\infty, -3), (-3, 2), (2, +\infty) \) можно определить, что:
- На интервале \((- \infty, -3)\) неравенство выполняется.
- На интервале \((-3, 2)\) неравенство не выполняется.
- На интервале \((2, +\infty)\) также выполняется.
Таким образом, \(x\) должен принадлежать интервалам: \((- \infty, -3] \cup [2, +\infty)\).
Шаг 6: Найдем значения \(y\)
Теперь подставим найденные значения \(x\) в выражение для \(y^2\):
Для \(x = 2\):
\[ y^2 = \frac{2^2 + 2 - 6}{2} = \frac{4 + 2 - 6}{2} = 0 \implies y = 0 \]
Для \(x = -3\):
\[ y^2 = \frac{(-3)^2 - 3 - 6}{2} = \frac{9 - 3 - 6}{2} = 0 \implies y = 0 \]
Таким образом, у нас есть два решения:
- \( (2, 0) \)
- \( (-3, 0) \)
Вывод
Решение уравнения \(x^2 - 2y^2 + x = 6\) находим как точки:
- \( (2, 0) \)
- \( (-3, 0) \)
Эти точки лежат на оси абсцисс.
