{x²-2y²+x=6}

Давайте решим уравнение \(x^2 - 2y^2 + x = 6\) и разберем его шаг за шагом. ### Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду Первым делом мы можем привести уравнение к стандартному виду, переместив все члены на одну сторону: \[ x^2 - 2y^2 + x - 6 = 0 \] Это уравнение можно рассмотреть как уравнение, содержащее две переменные \(x\) и \(y\). ### Шаг 2: Поиск корней уравнения Мы можем взять это уравнение и выделить \(y^2\): \[ 2y^2 = x^2 + x - 6 \] \[ y^2 = \frac{x^2 + x - 6}{2} \] ### Шаг 3: Анализ выражения для \(y^2\) Теперь мы видим, что \(y^2\) зависит от \(x\). Чтобы у нас были действительные значения \(y\), необходимо, чтобы \(x^2 + x - 6 \geq 0\). ### Шаг 4: Решение неравенства Решим неравенство: \[ x^2 + x - 6 \geq 0 \] Для этого находим корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2} = \{2, -3\} \] Таким образом, уравнение имеет два корня: \(x = 2\) и \(x = -3\). ### Шаг 5: Определим интервал для \(x\) Теперь решим неравенство: \[ x^2 + x - 6 \geq 0 \] Из графика или тестирования знаков на интервалах \( (-\infty, -3), (-3, 2), (2, +\infty) \) можно определить, что: - На интервале \((- \infty, -3)\) неравенство выполняется. - На интервале \((-3, 2)\) неравенство не выполняется. - На интервале \((2, +\infty)\) также выполняется. Таким образом, \(x\) должен принадлежать интервалам: \((- \infty, -3] \cup [2, +\infty)\). ### Шаг 6: Найдем значения \(y\) Теперь подставим найденные значения \(x\) в выражение для \(y^2\): Для \(x = 2\): \[ y^2 = \frac{2^2 + 2 - 6}{2} = \frac{4 + 2 - 6}{2} = 0 \implies y = 0 \] Для \(x = -3\): \[ y^2 = \frac{(-3)^2 - 3 - 6}{2} = \frac{9 - 3 - 6}{2} = 0 \implies y = 0 \] Таким образом, у нас есть два решения: 1. \( (2, 0) \) 2. \( (-3, 0) \) ### Вывод Решение уравнения \(x^2 - 2y^2 + x = 6\) находим как точки: - \( (2, 0) \) - \( (-3, 0) \) Эти точки лежат на оси абсцисс.