Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, в основании ко торой лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, если высота призмы равна 10 см.
Для нахождения площади полной поверхности прямой треугольной призмы, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберемся с этой задачей пошагово.
Шаг 1: Находите площадь основания призмы
Основанием нашей призмы является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Для нахождения площади прямоугольного треугольника используем формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника. Подставляем наши значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \, \text{см}^2 \]
Шаг 2: Находите периметр основания
Периметр \( P \) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[ P = a + b + c \]
где \( c \) — гипотенуза, которую можно найти по теореме Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, \text{см} \]
Теперь подставим значения в формулу для периметра:
\[ P = 5 + 12 + 13 = 30 \, \text{см} \]
Шаг 3: Находим площадь боковых сторон призмы
Площадь боковых сторон призмы состоит из трех прямоугольников. Два из них имеют размер \( a \times h \) и \( b \times h \), где \( h \) - высота призмы.
- Площадь первого прямоугольника:
\[ S_1 = a \cdot h = 5 \cdot 10 = 50 \, \text{см}^2 \]
- Площадь второго прямоугольника:
\[ S_2 = b \cdot h = 12 \cdot 10 = 120 \, \text{см}^2 \]
- Площадь третьего прямоугольника (основание на гипотенузе):
\[ S_3 = c \cdot h = 13 \cdot 10 = 130 \, \text{см}^2 \]
Теперь суммируем площадь боковых сторон:
\[ S_{\text{боковые}} = S_1 + S_2 + S_3 = 50 + 120 + 130 = 300 \, \text{см}^2 \]
Шаг 4: Находим общую площадь поверхности призмы
Теперь можем найти полную площадь поверхности призмы, складывая площадь двух оснований и площадь боковых сторон:
\[ S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{основание}} + S_{\text{боковые}} = 2 \cdot 30 + 300 = 60 + 300 = 360 \, \text{см}^2 \]
Ответ
Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы составляет 360 см².
