Решение:
Дано, что сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла 30 градусов, равна 21 см. Обозначим длину катета, лежащего против угла 30 градусов, как a см, а длину гипотенузы как c см.
Мы знаем, что для треугольника прямого угла с гипотенузой c и катетами a и b верно следующее уравнение по теореме Пифагора:
[ c^2 = a^2 + b^2 ]
Так как у нас дан треугольник, где катет равен a и гипотенуза равна c и сумма их длин равна 21 см, то мы можем записать уравнения с учетом этой информации:
[ a + c = 21 ]
Также, угол против катета a 'составной', то есть это 30 градусов, что означает, что мы можем воспользоваться соответствующими тригонометрическими функциями для нахождения зависимости между гипотенузой и катетом в этом случае.
У нас известно, что в прямоугольном треугольнике, когда угол между гипотенузой и катетом равен 30 градусов, верно следующее:
[ a = c * \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Теперь можем подставить это в уравнение, которое мы составили из суммы длин катета и гипотенузы:
[ c * \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 21 ]
[ c * (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = 21 ]
Теперь найдем c:
[ c = \frac{21}{(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)} ]
[ c = \frac{21 * 2}{(\sqrt{3} + 2)} = \frac{42}{\sqrt{3} + 2} ]
Умножим верхнюю и нижнюю часть этой дроби на (\sqrt{3} - 2), чтобы избавиться от корня в знаменателе и упростить дробь:
[ c = \frac{42(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = \frac{42\sqrt{3} - 84}{-1} = 84 - 42\sqrt{3} ]
Итак, длина гипотенузы равна ( 84 - 42\sqrt{3} ) см.
