на доске написаны числа 1, 2^2, 3^2 ... 101^2. Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске…
На доске написаны числа 1, 2^2, 3^2 ... 101^2. Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не останется единственное число. определи наименьшее значение, которое аня сможет получить
Цель: Понять
Начнем с того, что у нас на доске изначально написаны числа вида 1, 2^2, 3^2, ..., 101^2.
Рассмотрим формулу для возведения числа n в квадрат: n^2. Если мы разложим каждое из чисел таким образом, мы получим следующую последовательность: 1, 4, 9, ..., 10201.
Когда Аня стирает два числа и записывает их положительную разность, она фактически вычисляет разность между квадратами двух последовательных чисел. Например, если она стирает числа 9 и 16, получится |9 - 16| = 7.
Заметим, что разность между квадратами двух последовательных чисел можно представить как (n + 1)^2 - n^2, где n - это порядковый номер числа.
Если мы разложим выражение (n + 1)^2 - n^2, получится 2n + 1. Это значит, что каждая разность будет состоять из числа, удвоенного и увеличенного на 1.
Теперь, если мы продолжим этот процесс и начнем сначала, мы видим, что каждая разность, которую Аня записывает, будет увеличиваться на 2.
Следовательно, наименьшее значение, которое Аня сможет получить, будет равно сумме арифметической прогрессии, начиная с 2 и с шагом 2, и заканчивая на 101^2. Используем формулу для суммы арифметической прогрессии: S = (n/2) * (a₁ + aₙ), где n - количество членов, a₁ - первый член, aₙ - последний член.
Решив уравнение с учетом представленной формулы, получаем S = (101/2) * (2 + 101*2) = 5151.
Итак, наименьшее значение, которое Аня сможет получить, равно 5151.
