Петя записал на доске четырёхзначное натуральное число, делящееся нацело на 36. К доске подошёл Вася и стёр две средние цифры этого числа. Теперь извест но лишь, что начиналось…
Петя записал на доске четырёхзначное натуральное число, делящееся нацело на 36. К доске подошёл Вася и стёр две средние цифры этого числа. Теперь извест но лишь, что начиналось число с цифры 8, а заканчивалось цифрой 6. Найдите все возможные числа, которые мог записать Петя.
Цель: Понять
Пусть четырёхзначное число, записанное Петей, обозначается как \(ABCD\), где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — цифры числа. По условию, это число делится на 36 без остатка.
Число 36 можно разложить на простые множители: \(36 = 2^2 \cdot 3^2\).
Так как число делится на 36, то оно должно делиться и на \(2^2 = 4\) и на \(3^2 = 9\).
Также, по условию известно, что начальная цифра равна 8 (т.е. \(A = 8\)) и конечная цифра равна 6 (т.е. \(D = 6\)).
Таким образом, мы имеем, что число должно иметь вид \(8BC6\).
Теперь нужно определить, какие возможные значения могут принимать цифры \(B\) и \(C\).
Чтобы число \(8BC6\) делилось на 4, необходимо, чтобы число, образованное последними двумя цифрами \(BC\), делилось на 4. Значит, \(BC\) может быть равно 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.
Чтобы число \(8BC6\) делилось на 9, необходимо, чтобы сумма всех его цифр также делилась на 9. Так как сумма \(8+4+0+6 = 18\) делится на 9, то любая комбинация из приведенных значений для \(BC\) будет удовлетворять этому условию.
Итак, все возможные числа, которые мог записать Петя: \(8046, 8086, 8126, 8166, 8206, 8246, 8286, 8326, 8366, 8406, 8446, 8486, 8526, 8566, 8606, 8646, 8686, 8726, 8766, 8806, 8846, 8886, 8926, 8966\).
