найти первый член и сумму 12 первых членов арифмитической прогрессии an если а3 = -18 а7 = 6

Для решения данной задачи по нахождению первого члена и суммы первых 12 членов арифметической прогрессии, где известны значения a3 = -18 и a7 = 6, мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. Общая формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] где:

   • \( a_n \) - n-й член прогрессии,
   • \( a_1 \) - первый член прогрессии,
   • \( d \) - разность прогрессии,
   • \( n \) - порядковый номер члена в прогрессии.

2. Формула для нахождения суммы n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \] где:

   • \( S_n \) - сумма первых n членов прогрессии.

Давайте начнем с решения:

1. Найдем разность прогрессии \( d \): \[ d = a_7 - a_3 = 6 - (-18) = 6 + 18 = 24 \]

2. Теперь найдем первый член \( a_1 \): Используем формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \) для n = 3: \[ -18 = a_1 + (3-1)24 \] \[ -18 = a_1 + 48 \] \[ a_1 = -18 - 48 = -66 \]

   Таким образом, первый член прогрессии \( a_1 = -66 \).

3. Найдем 12-й член прогрессии \( a_{12} \): Используем формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \) для n = 12: \[ a_{12} = -66 + (12-1)24 \] \[ a_{12} = -66 + 11*24 = -66 + 264 = 198 \]

4. Наконец, найдем сумму первых 12 членов прогрессии \( S_{12} \) с использованием формулы для суммы: \[ S_{12} = \frac{12}{2}(-66 + 198) \] \[ S_{12} = 6 * 132 = 792 \]

Итак, первый член арифметической прогрессии \( a_1 = -66 \), а сумма первых 12 членов прогрессии \( S_{12} = 792 \).