Решите систему неравенств Запишите наименьшее целое решение системы неравенств. Введите целое число или десятичную дробь… Запишите наибольшее целое решение системы неравенств.…

Для решения системы неравенств:

\[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 \geq 0 \\ x^2 - x - 2 < 0 \end{cases} \]

разберем каждое неравенство отдельно:

Первое неравенство: \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\)

1. Находим корни квадратного уравнения \(x^2 - 3x + 2 = 0\) с помощью дискриминанта.

   • \(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\).
   • Корни: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2}\).
   • \(x_1 = 2\), \(x_2 = 1\).

2. Решаем неравенство \(x^2 - 3x + 2 \geq 0\) с учетом корней:

   • Исследуем знаки с помощью интервалов: \((-\infty, 1)\), \([1, 2]\), \((2, +\infty)\).
   • Знаки будут: \(+\), \(-\), \(+\).

3. Решение: \(x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)\).

Второе неравенство: \(x^2 - x - 2 < 0\)

1. Находим корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\).

   • \(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).
   • Корни: \(x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2}\).
   • \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\).

2. Решаем неравенство \(x^2 - x - 2 < 0\) с учетом корней:

   • Исследуем знаки на интервалах: \((-\infty, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, +\infty)\).
   • Знаки будут: \(+\), \(-\), \(+\).

3. Решение: \(x \in (-1, 2)\).

Объединяем решения системы

Объединяем результаты:

• \(x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)\) для первого неравенства.
• \(x \in (-1, 2)\) для второго неравенства.

Ищем пересечение:

• \((-1, 2) \cap (-\infty, 1] = (-1, 1]\).

Ответ

• Наименьшее целое решение: 0.
• Наибольшее целое решение: 1.