.

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся, как связаны стороны квадрата и радиус окружности, описанной вокруг квадрата. 1. **Определение**: - Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. - Для квадрата, центр окружности совпадает с пересечением диагоналей квадрата. 2. **Диагональ квадрата**: - Если сторона квадрата равна \( a \), то диагональ \( d \) можно найти по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \] 3. **Радиус описанной окружности**: - Радиус \( R \) окружности, описанной вокруг квадрата, равен половине диагонали: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \] 4. **Дано**: - Радиус окружности \( R = 4 \sqrt{2} \) 5. **Решение уравнения**: - Зная, что \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \), приравниваем: \[ \frac{a \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \] 6. **Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавляться от дроби**: \[ a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \] 7. **Делим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \)**: \[ a = 8 \] Таким образом, длина стороны квадрата равна 8. **Ответ: 8**