.

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся, как связаны стороны квадрата и радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

1. Определение:

   • Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника.
   • Для квадрата, центр окружности совпадает с пересечением диагоналей квадрата.

2. Диагональ квадрата:

   • Если сторона квадрата равна \( a \), то диагональ \( d \) можно найти по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \]

3. Радиус описанной окружности:

   • Радиус \( R \) окружности, описанной вокруг квадрата, равен половине диагонали: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

4. Дано:

   • Радиус окружности \( R = 4 \sqrt{2} \)

5. Решение уравнения:

   • Зная, что \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \), приравниваем: \[ \frac{a \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \]

6. Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавляться от дроби: \[ a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \]

7. Делим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \): \[ a = 8 \]

Таким образом, длина стороны квадрата равна 8.

Ответ: 8