На доске написаны числа 1, 2², 3²…100². Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не…
На доске написаны числа 1, 2², 3²…100². Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не останется единственное число. Определи наименьшее значение, которое Аня сможет получить.
Цель: Понять
Давайте разберем эту задачу:
Первоначальный список чисел на доске: 1, 2², 3², ..., 100².
Заметим, что можно переписать числа 1, 2², 3², ..., 100² как 1, 4, 9, ..., 10000.
Когда Аня стирает любые два числа и записывает их положительную разность, получается, что разность двух квадратов (a² - b²) можно факторизовать как (a + b)(a - b), где a и b - два числа, которые мы стираем.
Далее, мы можем выразить a² - b² как (a + b)(a - b) = (а + b)(a - b) = а² - b², т.е. вместо двух чисел мы получаем одно, равное разности исходных чисел.
Когда на доске останется одно число, это число будет равно сумме всех квадратов от 1 до 100, так как оно представлено как разность исходных чисел.
Сумма квадратов чисел от 1 до n можно выразить формулой: n*(n+1)*(2n+1)/6.
Для n=100 мы получаем сумму квадратов чисел от 1 до 100 равную 100101201/6 = 338350.
Таким образом, ответ на задачу - 338350 - это наименьшее значение, которое Аня сможет получить, оставаясь только с одним числом на доске.
