Реши задачу
Для решения задачи нам нужно понять, как связаны между собой данные величины и геометрические параметры шара и его касательной плоскости.
Условия задачи:
- \( O \) — центр шара.
- \( A \) — точка касания сферы с плоскостью.
- \( B \) — точка, лежащая на плоскости.
- Даны отрезки: \( AB = 21 \) см, \( BO = 29 \) см.
Чтобы найти объём шара, нужно определить его радиус. В задаче образуется прямоугольный треугольник \( ABO \), в котором:
- \( OA \) — радиус шара,
- \( OB = 29 \) см — расстояние от центра шара до точки на плоскости,
- \( AB = 21 \) см — расстояние от точки касания до точки на плоскости.
По теореме Пифагора для треугольника \( ABO \): \[ OB^2 = OA^2 + AB^2 \]
Подставим известные значения: \[ 29^2 = OA^2 + 21^2 \]
Посчитаем: \[ 841 = OA^2 + 441 \]
Найдём \( OA^2 \): \[ OA^2 = 841 - 441 = 400 \]
Следовательно, \( OA = \sqrt{400} = 20 \) см.
Теперь, чтобы найти объём шара, используем формулу объёма шара: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Подставим радиус \( R = 20 \) см: \[ V = \frac{4}{3} \pi (20)^3 \]
Посчитаем: \[ V = \frac{4}{3} \pi \times 8000 = \frac{32000}{3} \pi \approx 33510.32 \text{ куб. см} \]
Значит, объём шара приблизительно равен \( 33510.32 \) куб. см.
