Для решения задачи нам нужно понять, как связаны между собой данные величины и геометрические параметры шара и его касательной плоскости.
Условия задачи:
- ( O ) — центр шара.
- ( A ) — точка касания сферы с плоскостью.
- ( B ) — точка, лежащая на плоскости.
- Даны отрезки: ( AB = 21 ) см, ( BO = 29 ) см.
Чтобы найти объём шара, нужно определить его радиус. В задаче образуется прямоугольный треугольник ( ABO ), в котором:
- ( OA ) — радиус шара,
- ( OB = 29 ) см — расстояние от центра шара до точки на плоскости,
- ( AB = 21 ) см — расстояние от точки касания до точки на плоскости.
По теореме Пифагора для треугольника ( ABO ):
[
OB^2 = OA^2 + AB^2
]
Подставим известные значения:
[
29^2 = OA^2 + 21^2
]
Посчитаем:
[
841 = OA^2 + 441
]
Найдём ( OA^2 ):
[
OA^2 = 841 - 441 = 400
]
Следовательно, ( OA = \sqrt{400} = 20 ) см.
Теперь, чтобы найти объём шара, используем формулу объёма шара:
[
V = \frac{4}{3} \pi R^3
]
Подставим радиус ( R = 20 ) см:
[
V = \frac{4}{3} \pi (20)^3
]
Посчитаем:
[
V = \frac{4}{3} \pi \times 8000 = \frac{32000}{3} \pi \approx 33510.32 \text{ куб. см}
]
Значит, объём шара приблизительно равен ( 33510.32 ) куб. см.
