Седьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии равны 126 126 и 3 , 256 3,256 соответственно. Найди сумму членов прогрессии, заключённых между ними.

Для решения данной задачи нам нужно найти сумму членов геометрической прогрессии, которые находятся между седьмым и одиннадцатым членами.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \( a \), а знаменатель равен \( r \).

Таким образом, нам дано: Седьмой член: \( a \cdot r^6 = 126 \)
Одиннадцатый член: \( a \cdot r^{10} = 3256 \)

Для нахождения суммы членов между седьмым и одиннадцатым мы можем воспользоваться формулой для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Теперь наша задача найти сумму членов прогрессии между 7-м и 11-м членами, что соответствует нахождению суммы членов от 8-го до 10-го включительно.

\[ S_{11} = a \frac{r^{11} - 1}{r - 1} \] — сумма членов до 11-го
\[ S_{7} = a \frac{r^{7} - 1}{r - 1} \] — сумма членов до 7-го

Сумма членов от 8-го до 11-го члена:
\[ S_{11} - S_{7} \]

Подставляем известные значения:
\[ S_{11} = a \frac{r^{11} - 1}{r - 1} = 3256 \]
\[ S_{7} = a \frac{r^{7} - 1}{r - 1} = 126 \]

Выразим \( a \) из первого уравнения: \[ a = \frac{126 \cdot (r - 1)}{r^{7} - 1} \]

Подставляем \( a \) во второе уравнение, чтобы найти значение \( r \).

Далее, найдя значение \( r \), можем подставить его в формулу для нахождения суммы членов от 8-го до 11-го и вычислить итоговый результат.