В окружности с центром в точке  � O диаметр  � � PR и хорда  � � TS пересекаются в точке  � Q под прямым углом. Найди периметр треугольника  � � � OTS, если  � � = 4 QT=4 см, а  ∠ � � � = 6 0 ∘ ∠TOS=60 ∘ .

**Решение:** Для решения данной задачи нам необходимо уяснить геометрическую ситуацию, положим: - Подвижный угол ∠ROT равен 60°, и угол ∠OTR также равен 60°, так как это центральный угол, а значит угол ∠OST также равен 60°. Теперь обратим внимание на треугольник OQT. Из условия известно, что QT = 4 см и угол ∠QOT = 90°, поскольку QT пересекает хорду TS под прямым углом. Таким образом, треугольник OQT является прямоугольным. Используя теорему Пифагора для этого треугольника, найдем длину стороны OT: \[ OT = \sqrt{OQ^2 + QT^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \] Теперь, поскольку у нас есть сторона OT, можем найти сторону TS. Заметим, что треугольник OTS - равносторонний, так как угол ∠OST = 60°, угол ∠OTS = 60° и угол ∠OTS = 60°. Следовательно, \[ TS = OT = 4\sqrt{2} \text{ см} \] Итак, периметр треугольника OTS равен сумме всех его сторон: \[ P_{OTS} = OT + TS + OS = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4 = 8\sqrt{2} + 4 \text{ см} \] Таким образом, периметр треугольника OTS составляет \( 8\sqrt{2} + 4 \) см.