Решить

Для решения задачи найдем координаты вектора \(\mathbf{DK}\) через заданные векторы \(\mathbf{AC}\) и \(\mathbf{KC}\).

1. Параметры задачи:

   • \(CN\) делится точкой \(D\) в отношении \(2:5\).

2. Представим вектора:

   • Пусть \(\mathbf{AC} = \mathbf{a}\) и \(\mathbf{KC} = \mathbf{c}\).

3. Координаты точки \(D\) на отрезке \(CN\):

   • Медиа \(\Delta\) — в треугольнике \(ACK\) точка \(N\) находится как середина \(CK\).
   • Значит, вектор \(\mathbf{CN} = \frac{\mathbf{a} + \mathbf{c}}{2}\).

4. Вектор \(\mathbf{CD}\):

   • Так как \(D\) делит \(CN\) в отношении \(2:5\), точка \(D\) находится ближе к \(C\) и делит отрезок на 7 частей.
   • \(\mathbf{CD} = \frac{5}{7} \cdot \mathbf{CN} = \frac{5}{7} \cdot \frac{\mathbf{a} + \mathbf{c}}{2} = \frac{5}{14} (\mathbf{a} + \mathbf{c})\).

5. Найдем вектор \(\mathbf{DK}\):

   • \(\mathbf{DK} = \mathbf{DC} + \mathbf{CK}\).
   • \(\mathbf{DC} = -\frac{5}{14} (\mathbf{a} + \mathbf{c})\) (поскольку \(\mathbf{DC}\) направлен в противоположную сторону вектора \(\mathbf{CD}\)).
   • \(\mathbf{CK} = \mathbf{c}\).

6. Получаем: \[ \mathbf{DK} = -\frac{5}{14} (\mathbf{a} + \mathbf{c}) + \mathbf{c} = -\frac{5}{14} \mathbf{a} - \frac{5}{14} \mathbf{c} + \frac{14}{14} \mathbf{c} \] \[ \mathbf{DK} = -\frac{5}{14} \mathbf{a} + \frac{9}{14} \mathbf{c} \]

Таким образом, вектор \(\mathbf{DK}\) выражается через векторы \(\mathbf{AC}\) и \(\mathbf{KC}\) как: \[ \boxed{-\frac{5}{14} \mathbf{AC} + \frac{9}{14} \mathbf{KC}} \]