Сумма двух натуральных чисел равна 28, а сумма квадратов этих чисел равна 394. Найдите эти числа.

Давайте решим данную задачу:

Обозначим два натуральных числа как \(x\) и \(y\).

Условие задачи можно записать в виде системы уравнений:

1. \(x + y = 28\) - сумма двух чисел равна 28
2. \(x^2 + y^2 = 394\) - сумма квадратов равна 394

Используем первое уравнение для выражения одной переменной через другую: \(x = 28 - y\)

Подставим это выражение во второе уравнение: \((28 - y)^2 + y^2 = 394\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(784 - 56y + y^2 + y^2 = 394\)

Упростим уравнение: \(2y^2 - 56y + 390 = 0\)

Разделим все коэффициенты на 2 для удобства решения: \(y^2 - 28y + 195 = 0\)

Теперь решим квадратное уравнение для нахождения значения \(y\): \[y = \frac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4*1*195}}{2*1}\]

\[y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 780}}{2}\]

\[y = \frac{28 \pm \sqrt{4}}{2}\]

\[y = \frac{28 \pm 2}{2}\]

Получаем два варианта для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{28 + 2}{2} = 15\)
2. \(y_2 = \frac{28 - 2}{2} = 13\)

Теперь найдем соответствующие значения для \(x\), используя \(x = 28 - y\):

1. \(x_1 = 28 - 15 = 13\)
2. \(x_2 = 28 - 13 = 15\)

Итак, получаем две пары натуральных чисел:

1. Первое число равно 13, второе число равно 15.
2. Первое число равно 15, второе число равно 13.

Таким образом, решением задачи являются две пары чисел: 13 и 15, 15 и 13.