Точка А (6;-2) симметрична точке А1 относительно точки О (-5; 7). Найдите координаты точки А1.

Для решения этой задачи нам нужно использовать определение симметрии относительно точки.

Пусть координаты точки \( A \) равны \( (x, y) \), а координаты точки \( A_1 \) равны \( (x_1, y_1) \).

Симметричная точка \( A_1 \) точке \( A \) относительно точки \( O \) означает, что отрезок, соединяющий точки \( O \) и \( A \), равен отрезку, соединяющему точки \( O \) и \( A_1 \).

Используем формулу расстояния между двумя точками в прямой системе координат:
\[ \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2} = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \]

Заменяя координаты точек и точки \[ O (-5; 7) \] и \( A (6;-2) \), получаем:
\[ \sqrt{(x_1 + 5)^2 + (y_1 - 7)^2} = \sqrt{(6 + 5)^2 + (-2 - 7)^2} \]
\[ \sqrt{(x_1 + 5)^2 + (y_1 - 7)^2} = \sqrt{11^2 + (-9)^2} \]
\[ \sqrt{(x_1 + 5)^2 + (y_1 - 7)^2} = \sqrt{121 + 81} \]
\[ \sqrt{(x_1 + 5)^2 + (y_1 - 7)^2} = \sqrt{202} \]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[ (x_1 + 5)^2 + (y_1 - 7)^2 = 202 \]

Таким образом, у нас есть уравнение, связывающее координаты точек \( A \) и \( A_1 \).

Подставляем координаты точки \( A \) \( (6, -2) \) в уравнение:
\[ (x_1 + 5)^2 + (y_1 - 7)^2 = 202 \]
\[ (6 + 5)^2 + (-2 - 7)^2 = 202 \]
\[ (11)^2 + (-9)^2 = 202 \]
\[ 121 + 81 = 202 \]
\[ 202 = 202 \]

Следовательно, координаты точки \( A_1 \) равны \( (11, -9) \). Таким образом, искомая точка \( A_1 \) имеет координаты \( (11, -9) \).