Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 20. Боковая сторона равна 12. Синус острого угла трапеции равен корень из 5 делённое на 3. Найдите большее основание

Решение:

Дано:

• Меньшее основание равнобедренной трапеции: \( a = 20 \)
• Боковая сторона: \( b = 12 \)
• Синус острого угла трапеции: \( \sin(\theta) = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Пусть \( h \) - это высота трапеции, а \( c \) - это большее основание.

Так как трапеция равнобедренная, то верхние основания равны, и у нас получается равнобедренный треугольник. Мы можем использовать синус острого угла для определения высоты трапеции.

Для равнобедренного треугольника с катетами \( a \) и \( \frac{c - a}{2} \) и гипотенузой \( b \) справедливо: \[ \sin(\theta) = \frac{h}{a} \] \[ \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{h}{20} \] \[ h = \frac{20\sqrt{5}}{3} \]

Теперь, зная высоту трапеции, мы можем выразить большее основание: \[ c = a + 2\left(\frac{c - a}{2}\right) \] \[ c = 20 + 2\left(\sqrt{h^2 - \left(\frac{c - a}{2}\right)^2}\right) \] \[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\left(\frac{20\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{c - 20}{2}\right)^2}\right) \]

Теперь подставим известные значения и найдем большее основание: \[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\left(\frac{20\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{c - 20}{2}\right)^2}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{400 \cdot 5}{9} - \frac{c^2 - 40c + 400}{4}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{2000}{9} - \frac{c^2 - 40c + 400}{4}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{8000}{9} - \frac{4c^2 - 160c + 1600}{9}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{8000 - 4c^2 + 160c - 1600}{9}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{-4c^2 + 160c + 6400}{9}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{-\frac{4(c^2 - 40c - 1600)}{9}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\sqrt{-\frac{4(c+20)(c-60)}{9}}\right) \]

\[ c = 20 + 2\left(\frac{2\sqrt{5}(c + 20)}{3}\right) \]

\[ c = 20 + \frac{4\sqrt{5}(c + 20)}{3} \]

\[ 3c = 60 + 4\sqrt{5}(c + 20) \]

\[ 3c = 60 + 4\sqrt{5}c + 80\sqrt{5} \]

\[ 3c - 4\sqrt{5}c = 140\sqrt{5} - 60 \]

\[ c(3 - 4\sqrt{5}) = 140\sqrt{5} - 60 \]

\[ c = \frac{140\sqrt{5} - 60}{3 - 4\sqrt{5}} \]

Это дает точное значение большего основания трапеции.