Решение:
Дано:
- Меньшее основание равнобедренной трапеции: ( a = 20 )
- Боковая сторона: ( b = 12 )
- Синус острого угла трапеции: ( \sin(\theta) = \frac{\sqrt{5}}{3} )
Пусть ( h ) - это высота трапеции, а ( c ) - это большее основание.
Так как трапеция равнобедренная, то верхние основания равны, и у нас получается равнобедренный треугольник. Мы можем использовать синус острого угла для определения высоты трапеции.
Для равнобедренного треугольника с катетами ( a ) и ( \frac{c - a}{2} ) и гипотенузой ( b ) справедливо:
[ \sin(\theta) = \frac{h}{a} ]
[ \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{h}{20} ]
[ h = \frac{20\sqrt{5}}{3} ]
Теперь, зная высоту трапеции, мы можем выразить большее основание:
[ c = a + 2\left(\frac{c - a}{2}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{h^2 - \left(\frac{c - a}{2}\right)^2}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\left(\frac{20\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{c - 20}{2}\right)^2}\right) ]
Теперь подставим известные значения и найдем большее основание:
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\left(\frac{20\sqrt{5}}{3}\right)^2 - \left(\frac{c - 20}{2}\right)^2}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{400 \cdot 5}{9} - \frac{c^2 - 40c + 400}{4}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{2000}{9} - \frac{c^2 - 40c + 400}{4}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{8000}{9} - \frac{4c^2 - 160c + 1600}{9}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{8000 - 4c^2 + 160c - 1600}{9}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{\frac{-4c^2 + 160c + 6400}{9}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{-\frac{4(c^2 - 40c - 1600)}{9}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\sqrt{-\frac{4(c+20)(c-60)}{9}}\right) ]
[ c = 20 + 2\left(\frac{2\sqrt{5}(c + 20)}{3}\right) ]
[ c = 20 + \frac{4\sqrt{5}(c + 20)}{3} ]
[ 3c = 60 + 4\sqrt{5}(c + 20) ]
[ 3c = 60 + 4\sqrt{5}c + 80\sqrt{5} ]
[ 3c - 4\sqrt{5}c = 140\sqrt{5} - 60 ]
[ c(3 - 4\sqrt{5}) = 140\sqrt{5} - 60 ]
[ c = \frac{140\sqrt{5} - 60}{3 - 4\sqrt{5}} ]
Это дает точное значение большего основания трапеции.
