найдите наименьшее число удовлетворяющие системе неравенств: 2х-5+|х-3|)>=0 3+6х+2|10х-3|>0
Для решения данной системы неравенств воспользуемся следующими шагами:
Первое неравенство: У нас имеется следующее неравенство: \( 2x - 5 + |x - 3| \geq 0 \).
Для начала рассмотрим два возможных случая:
- Если \( x \geq 3 \), то \( |x - 3| = x - 3 \).
- Если \( x < 3 \), то \( |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x \).
Теперь можем переписать исходное неравенство:
Для \( x \geq 3: 2x - 5 + (x - 3) \geq 0 \) Это равно \( 3x - 8 \geq 0 \), или \( x \geq \frac{8}{3} \).
Для \( x < 3: 2x - 5 + (3 - x) \geq 0 \) Это равно \( x - 2 \geq 0 \), или \( x \geq 2 \).
Следовательно, решение первого неравенства: \( x \geq 2 \).
Второе неравенство: У нас имеется следующее неравенство: \( 3 + 6x + 2|10x - 3| > 0 \).
Опять же, рассмотрим два случая:
- Если \( 10x - 3 \geq 0 \), то \( |10x - 3| = 10x - 3 \).
- Если \( 10x - 3 < 0 \), то \( |10x - 3| = -(10x - 3) = 3 - 10x \).
Теперь перепишем неравенство:
Для \( 10x - 3 \geq 0: 3 + 6x + 2(10x - 3) > 0 \) Это равно \( 26x - 3 > 0 \), или \( x > \frac{3}{26} \).
Для \( 10x - 3 < 0: 3 + 6x + 2(3 - 10x) > 0 \) Это равно \( -18x + 9 > 0 \), или \( x < \frac{1}{2} \).
Следовательно, решение второго неравенства: \( x < \frac{1}{2} \).
Общее решение: Исходя из решений каждого из неравенств, общее решение системы будет: \( x \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \cap [2, +\infty) \).
Таким образом, наименьшее число, удовлетворяющее данной системе неравенств, это \( x = 2 \).
