Какое из следующих утверждений верно? 1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы…

Давай разберем каждое утверждение по очереди:

1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника:

   Утверждение 1 неверно. Центр окружности, описанной около треугольника (окружность, проходящая через все вершины треугольника), не всегда лежит внутри самого треугольника. Например, для остроугольного треугольника центр окружности описанной не лежит внутри треугольника, он находится внутри или снаружи треугольника в зависимости от его формы.

2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   Утверждение 2 верно и является теоремой Пифагора. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами a и b, и гипотенузой c, выполнено следующее равенство:
   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

   Где квадрат длины гипотенузы (c) равен сумме квадратов длин катетов (a и b).

3. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на косинус угла между ними:

   Утверждение 3 верно и является формулой для вычисления площади треугольника по сторонам и углу между ними. Для треугольника с двумя сторонами a и b и углом α между ними, площадь (S) вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \]

   Причем, для прямоугольного треугольника, где угол между катетами (α) равен 90 градусам, мы можем использовать косинус угла α, так как \[ \cos(90°) = 0 \] и формула для площади упрощается следующим образом:
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \cos(90°) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot 0 = 0 \]
   Площадь прямоугольного треугольника равна 0, что соответствует ожидаемому результату, так как площадь под прямым углом равна нулю.

Итак, верными утверждениями из данного набора являются утверждения 2 и 3.