Bonpoc: 3/기 CN - медиана треугольника АСК. Точка D делит CN в отношении 2 : 5, считая от С. Выразите вектор DK через векторы АС и КС.

Решение:

Дано: точка \(D\) делит отрезок \(CN\) в отношении \(2:5\), считая от точки \(C\).

1. Построим вспомогательные векторы:

   • Обозначим векторы:
     • \(\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AS}\)
     • \(\overrightarrow{CS} = \overrightarrow{SK} + \overrightarrow{KC}\)
     • \(\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{SK} + \overrightarrow{KC}\)

2. Найдем точку \(D\):

   • Из условия, точка \(D\) делит \(CN\) в отношении \(2:5\).
   • Тогда вектор \(\overrightarrow{DN} = \frac{5}{2} \cdot \overrightarrow{DC}\), так как \(D\) делит \(CN\) в отношении \(2:5\).

3. Найдем вектор \(\overrightarrow{DK}\):

   • Разделим вектор \(\overrightarrow{CS}\) в отношении \(2:5\), соответственно точке \(D\).
   • Тогда вектор \(\overrightarrow{DK} = \frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{CS}\).

4. Подставим известные векторы и найдем \(\overrightarrow{DK}\):

   • \(\overrightarrow{DK} = \frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{CS}\)
   • \(\overrightarrow{DK} = \frac{5}{7} \cdot (\overrightarrow{SK} + \overrightarrow{KC})\)
   • \(\overrightarrow{DK} = \frac{5}{7} \cdot (-\overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KC})\) (так как векторы \(\overrightarrow{SK}\) и \(\overrightarrow{KC}\) равны по величине и направлению)
   • \(\overrightarrow{DK} = -\frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{KC}\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{DK}\) можно выразить через вектор \(\overrightarrow{KC}\) следующим образом:
\(\overrightarrow{DK} = -\frac{5}{7} \cdot \overrightarrow{KC}\)